19. O retângulo ABCD é formado pelos triângulos ABP,
CQP, AQD e APQ. As áreas dos triângulos ABP, CQP
e AQD são, respectivamente, 6, 5 e 2 cm². Qual é, em
cm²2, a área do triângulo APQ?

(A)7
(B) 8
(C). 9
(D) 10
(E)11

Respostas

respondido por: alessandragentileza

Resposta:

letra c 9 cm

Explicação passo a passo:

tu ta na obmep né

brunocardosolima7: sim senhora sksksks

respondido por: dugras

A área do triângulo APQ é 11

Áreas do retângulo e do triângulo

Temos que a área do retângulo é base vezes altura e que a área do triângulo é base vezes altura dividido por 2.

No problema proposto precisamos definir as bases e alturas. Vamos chamar a base do retângulo de b e a altura de h.

Se chamarmos a base do triângulo AQD como x, a base do triângulo CQP é b - x.

e chamarmos a altura do triângulo CQP de y, a altura do triângulo ABP é h - y.

Todas essas marcações estão na figura anexa.

A área do triângulo APQ é a área do retângulo menos a área dos outros três triângulos.

A = bh - 2 - 6 - 5 = bh - 13

Pelas áreas dos três triângulos podemos substituir o x da primeira equação e o y da segunda equação na terceira para termos uma equação somente com b e h:

$\frac{xh}{2} = 2\\xh = 4\\ x = \frac{4}{h}\\\\\frac{(b-x)y}{2} = 5\\by - xy = 10\\by - \frac{4y}{h}=10\\byh - 4y = 10h\\y = \frac{10h}{bh-4}\\\\\frac{b(h-y)}{2}=6\\bh - by = 12\\bh -\frac{10bh}{bh-4} = 12\\bh(bh-4) - 10bh = 12(bh - 4)\\(bh)^2 - 4bh - 10bh = 12bh - 48\\(bh)^2 -26bh + 48 = 0$

Equação do segundo grau

Aplicando a fórmula de Bhaskara ou fórmula da equação do segundo grau em bh, temos:

$\Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c\\bh = \frac{-b \pm \sqrt \Delta}{2 \cdot a}$

a = 1, b = -26 e c = 48

$\Delta = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48\\\Delta = 676 - 192 = 484\\\\bh = \frac{26 \pm \sqrt {484}}{2 \cdot 1} \\bh = \frac{26 \pm 22}{2} \\\\bh = 13 \pm 11$