Determine o ponto do plano x − 2y + 3z = 6 que está mais próximo do ponto (0, 1, 1).

Respostas

respondido por: Lukyo

Resposta: O ponto procurado é (5/14, 4/14, 29/14).

Explicação passo a passo:

Encontrando um vetor normal ao plano

Dado um plano no espaço $\mathbb{R}^3$ de equação

$\alpha:~ax+by+cz+d=0$

obtemos $\overset{\to}{\mathbf{n}}=(a,\,b,\,c)$ como um vetor normal ao plano $\alpha.$

Pela equação do plano dado

$\alpha:~~x-2x+3z=6$

segue que um vetor normal ao plano $\alpha$ é

$\overset{\to}{\mathbf{n}}=(1,\,-2,\,3).$

O ponto mais próximo deve pertencer à reta $r$ que passa por $P(0,\,1,\,1),$ cujo vetor diretor é um vetor normal ao plano $\alpha.$

Uma equação para a reta r

Sendo assim, uma equação vetorial para a reta $r$ é

$r:~~(x,\,y,\,z)=(x_0,\,y_0,\,z_0)+t\overset{\to}{\mathbf{n}}\\\\ \Longrightarrow\quad r:~~(x,\,y,\,z)=(0,\,1,\,1)+t(1,\,-2,\,3),\quad\mathrm{com~}t\in\mathbb{R}$

Obtendo as equações paramétricas para a reta $r:$

$\Longleftrightarrow\quad r:~~(x,\,y,\,z)=(0,\,1,\,1)+(t,\,-2t,\,3t)\\\\ \Longleftrightarrow\quad r:~~(x,\,y,\,z)=(0+t,\,1-2t,\,1+3t)\\\\ \Longleftrightarrow\quad r:~~\left\{\begin{array}{l}x=t\\\\ y=1-2t\\\\ z=1+3t \end{array}\right.\qquad\mathrm{com~}t\in\mathbb{R}$

O ponto procurado é a interseção da reta $r$ com o plano $\alpha:~x-2y+3z=6.$

Substituindo as equações paramétricas da reta na equação do plano, devemos ter

$\Longrightarrow\quad (t)-2(1-2t)+3(1+3t)=6\\\\ \Longleftrightarrow\quad t-2+4t+3+9t=6\\\\ \Longleftrightarrow\quad t+4t+9t=6+2-3\\\\ \Longleftrightarrow\quad 14t=5\\\\ \Longleftrightarrow\quad t=\dfrac{5}{14}$

Coordenadas do ponto mais próximo

Com este valor de $t,$ substituímos nas equações paramétricas da reta, e obtemos as coordenadas do ponto procurado:

$x=t\\\\ \Longrightarrow\quad x=\dfrac{5}{14}\qquad\checkmark \\\\\\ y=1-2t\\\\ \Longrightarrow\quad y=1-2\cdot \dfrac{5}{14}=\dfrac{4}{14}\qquad\checkmark\\\\\\ z=1+3t\\\\ \Longrightarrow\quad z=1+3\cdot \dfrac{5}{14}=\dfrac{29}{14}\qquad\checkmark$