Question

A equação da posição em função do tempo de um veículo numa estrada reta ´e s = 5 − 10t + 2t2.
(a) escreva a equação da velocidade em função do tempo
(b) Calcule o deslocamento entre os instantes t = 0 e t = 5 segundos.
(c) Calcule o instante em que o móvel para.

Answer 1

Resposta:

(a) $v = -10 + 4t$

(b) $0$

(c) $t = 2{,}5\;\mathrm{s}$

Explicação:

Existem duas maneiras de resolver isso, dependendo do seu nível de matemática.

O primeiro, e mais simples, é por comparação direta. Note que o tempo está elevado ao quadrado na equação horária. Isto significa que se trata de um MRUV, com aceleração constante e, portanto, velocidade variável.

A forma geral de um MRUV é:

$S = S_0 + v_0t+\frac{at^2}{2}.$

Sabemos também que, no caso do MRUV, a velocidade depende linearmente do tempo:

$v = v_0 + at,$ e esta é a velocidade em função do tempo. Só precisamos descobrir a velocidade inicial e a aceleração.

Neste caso, comparando a forma geral do MRUV com a equação dada na questão, isto é, $S = 5 - 10t + 2t^2$, vemos que o termo que multiplica o tempo t é a velocidade inicial, isto é, $v_0 = -10\;\mathrm{m/s},$ se estiver no Sistema Internacional.

A aceleração é o termo quadrático ($t^2$): $\frac{at^2}{2} = 2t^2\implies a = 4\;\mathrm{m/s^2}.$

Logo, a velocidade em função do tempo é:

$v = -10 + 4t.$

O deslocamento é definido pela diferença entre a posição final e inicial: $\Delta S = S - S_0,$

sendo $S_0$ a posição no instante t = 0 e $S$ a posição em t = 5 s.

Vamos primeiro calcular a posição no instante 5 s:

$S(5) = 5 - 10\cdot 5 + 2\cdot 5^2 = 5 - 50 + 50 = 5\;\mathrm{m}.$

No instante t = 0, sabemos que $S_0 = 5\;\mathrm{m}.$

Logo, o deslocamento é de: $\Delta S = 5\;\mathrm{m} - 5\;\mathrm{m} = 0.$

O móvel começou o movimento com velocidade contrária ao referencial e, em virtude da aceleração, ele para em algum momento e retorna ao ponto inicial. Por isso o deslocamento entre esses instantes foi zero.

Para que isso aconteça, em algum momento ele parou. Vamos descobrir quando.

O móvel para quando a sua velocidade se anula:

$v = 0\\-10 + 4t = 0 \implies t = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2{,}5\;\mathrm{s}.$

Não é por acaso que este é o vértice da parábola $S = 5 - 10t + 2t^2$.

A outra maneira de resolver isso é por meio da derivada. Mas isso deixa para outro momento!