Question

lim de (raiz de x² + ax - raiz de x² + bx) quando x tende a + infinito?

Answer 1

$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+ax}- \sqrt{x^2+bx}$

multiplica e divide por √(x²+ax) + √(x²+bx)
no numerador vc tera uma diferença dos quadrados (a-b)(a+b)=a²-b²


$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+ax}- \sqrt{x^2+bx}) * \frac{(\sqrt{x^2+ax}+ \sqrt{x^2+bx})}{(\sqrt{x^2+ax}+ \sqrt{x^2+bx})} \\\\\\ \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+ax})- (\sqrt{x^2+bx})^2}{\sqrt{x^2+ax}+ \sqrt{x^2+bx}} \\\\ \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+ax)- (x^2+bx)}{\sqrt{x^2+ax}+ \sqrt{x^2+bx}}\\\\ \lim_{x \to \infty} \frac{(ax- bx)}{\sqrt{x^2+ax}+ \sqrt{x^2+bx}}\\\\ \boxed{\boxed{ \lim_{x \to \infty} \frac{x(a- b)}{\sqrt{x^2+ax}+ \sqrt{x^2+bx}}}}$

coloca x² em evidencia nas raízes do denominador
$\lim_{x \to \infty} \frac{x(a- b)}{\sqrt{x^2*(1+ \frac{a}{x}) }+ \sqrt{x^2(1+\frac{b}{x} )}} \\\\ \lim_{x \to \infty} \frac{x(a- b)}{\sqrt{x^2}*\sqrt{(1+ \frac{a}{x}) }+ \sqrt{x^2}\sqrt{(1+\frac{b}{x} )}} \\\\ \boxed{\boxed{\lim_{x \to \infty} \frac{x(a- b)}{\sqrt{x^2}*\left(\sqrt{1+ \frac{a}{x} }+\sqrt{(1+\frac{b}{x} \right)}} }}$

como esta tendendo a um valor positivo √x² = x
$\lim_{x \to \infty} \frac{x(a- b)}{x\left(\sqrt{1+ \frac{a}{x} }+\sqrt{(1+\frac{b}{x} \right)}} \\\\ \lim_{x \to \infty} \frac{(a- b)}{\left(\sqrt{1+ \frac{a}{x} }+\sqrt{(1+\frac{b}{x} \right)}} = \frac{a-b}{ \sqrt{1-0} + \sqrt{1-0} } = \frac{a-b}{2}$

Answer 2

= Lim  (√x² +ax  -√x² +bx)(√x²+ax +√x² +bx)/√x²+bx +√x²+bx)
      x-->+∞
=Lim  ( a-b)/√x²/x² +ax/x²  +√x²/x² + bx/x²
     x--->+∞
=Lim    (a-b)/( √1 +a/x  +√1 +b/x)
     x--->+∞
= (a-b)/√1+0  +√1+0

=  ( a-b)/2