Question

Aa retas de equações x=2,y =x e x+2y=12 determinam um triângulo t. Qual é a área desse triângulo?

Answer 1

A área do triângulo delimitado pelas retas dadas é igual a 3 u.a.

Podemos determinar a área pedida a partir da determinação dos vértices do triângulo e do cálculo da área do triângulo por determinante.

Vértices do Triângulo

Seja A, B e C os vértices do triângulo. Podemos determinar suas coordenadas encontrando os pontos de interseção entre as retas, ou seja, igualando as equações.

Igualando as equações x = 2 e y = x:

$\left \{ {{x=2} \atop {y=x}} \right. \\\\y = 2$

Assim,  como x = 2, um dos vértices possui coordenada B = (2,2)

Fazendo o mesmo para x = 2 e x+2y=12:

$\left \{ {{x=2} \atop {x+2y=12} \right. \\\\ 2+2y = 12 \Longleftrightarrow y = 5$

Assim, como x = 2, outro vértice do triângulo é A = (2,5).

Por fim, igualando y = x e x+2y = 12.

$\left \{ {{y=x} \atop {x+2y=12} \right. \\\\ x+2x=12 \\\\ 3x = 12 \\\\x = 4$

Assim,  como x = y, o vértice restante tem coordenadas C = (4,4).

Área por determinante

Sendo A, B e C os pontos relativos aos vértices de um triângulo. Podemos determinar a área do triangulo pelo módulo do determinante:

$\boxed{ A_{\Delta ABC} = |\dfrac{1}{2} \cdot \left |\begin{array}{ccc} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{array}\right| | }$

Substituindo os vértices do triângulo no determinante:

$A_{\Delta ABC} = |\dfrac{1}{2} \cdot \left |\begin{array}{ccc} x_{A} & y_{A} & 1 \\ x_{B} & y_{B} & 1 \\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{array}\right| | \\\\\\A_{\Delta ABC} = |\dfrac{1}{2} \cdot \left |\begin{array}{ccc} 2 & 5 & 1 \\ 2&2 & 1 \\ 4 & 4 & 1 \end{array}\right| | \\\\A_{\Delta ABC} = |\dfrac{1}{2} (4+20+4-8-10-8)| \\\\\\A_{\Delta ABC} = 3$

Assim, a área do triângulo é igual a 3.

Para saber mais sobre Geometria Analítica, acesse: brainly.com.br/tarefa/43770851

Espero ter ajudado, até a próxima :)

#SPJ1