Question

Um cubo é colocado de modo que um dos seus vértices esteja na origem e três arestas coincidam com os eixos x, y e z de um sistema de coordenadas, conforme mostra a figura. Use vetores para calcular: a) o ângulo entre a aresta ao longo do eixo z (linha ab) e a diagonal da origem até o vértice oposto (linha ad); b) o ângulo entre a linha ac (a diagonal de uma das faces e a linha ad.

Answer 1

Resposta:

Explicação:

A resolução sai por produto escalar entre dois vetores

u . v = |u| . |v| . cosα

Usando uma unidade para cada aresta do cubo

a) aresta ab e diagonal ad

(0, 0, 1) . (1, 1, 1) = √(0² + 0² + 1²) * √(1² + 1² + 1²) * cosα

0 + 0 + 1 = 1 * √3 * cosα

1 = √3 * cosα

$\frac{1}{\sqrt{3} } =cos\alpha \:\:\:\:\:racionaliza\:por\:\sqrt{3} \\\\cos\alpha =\frac{\sqrt{3} }{3} \\\\\alpha =arc\:cos(\frac{\sqrt{3} }{3})$

b) Diagonal ac e a diagonal ad

u = (0, 1, 1)   e   v = (1, 1, 1)

(0, 1, 1) . (1, 1, 1) = √(0² + 1² + 1²) * √(1² + 1² + 1²) * cosα

0 + 1 + 1 = √2 * √3 * cosα

2 = √6 * cosα

$\frac{2}{\sqrt{6} } =cos\alpha\:\:\:\:\:racionaliza\:por\:\sqrt{6}\\\\\frac{2\sqrt{6} }{6} = cos\alpha \\\\cos\alpha =\frac{\sqrt{6} }{3}\\\\ \alpha =arc\:cos(\frac{\sqrt{6} }{3})$