Matéria: Matemática
Autor: gomesgeovane76
Perguntado 3 anos atrás

Se W(f,g) = x cos x – sen x é o Wronskiano de f e g e se u = f + 3g e v = f - g, ache o Wronskiano W(u,v) de u e v.

Respostas

respondido por: Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, podemos concluir que o valor do Wronskiano das funções u e v é igual a -4 cos(x)+4 en(x).

Wronskiano:

O Wronskiano na matemática é o determinante que foi introduzido pelo matemático Józef Hoene-Wroński e ainda relacionado normatizado pelo matemático Thomas Muir.

O Wronskiano é o determinante da matriz construída colocando as funções na primeira linha, a primeira derivada de cada função na segunda linha e assim por diante até a derivada n-1, formando assim uma matriz quadrada, às vezes chamada de matriz fundamental.

Se levarmos tudo isso em consideração, será possível encontrar a solução para o problema.

$\rule{10cm}{0.01mm}$

O problema diz que o wronskiano da função f e g é igual a W(f,g) = x cos x – sin x , então se levarmos em conta o valor Wronskiano dessas duas funções, ele nos pede para calcular o Wronskiano de u e v sempre que levamos em conta que u é definido pela expressão u = f + 3g ev é definido pela expressão v = f - g.

Para encontrar o Wronskiano de u e v devemos encontrar as expressões que definem f e g, como temos duas funções, o Wronskiano é definido pelo determinante de uma matriz 2x2, para calcular o determinante de uma matriz 2x2 podemos usar o método de Cramer, o determinante de uma matriz 2x2 por Cramer será igual a:

$\displaystyle \left |\left|\begin{array}{cc}a &b\\ c& d \end{array}\right|\right |= a \cdot d- b\cdot c$

A expressão Wronskiano será igual à expressão da matriz, se fizermos isso obtemos:

$\displaystyle \left|\left|\begin{array}{cc}a &b\\ c& d \end{array}\right|\right |= x \cos (x)-\sin(x)$

A partir desta expressão podemos dizer que o valor de cada variável é igual a:

$\displaystyle \left|\left |\begin{array}{cc} x&\sin(x)\\ 1& \cos(x) \end{array}\right|\right |= x \cos (x)-\sin(x)$

Devemos verificar esta matriz, para isso devemos derivar a linha acima para obter a linha abaixo.

$\displaystyle \dfrac{d}{dx } x = 1$

$\displaystyle \dfrac{d}{dx } \sin (x) = \cos(x)$

As derivadas de todas essas funções são muito simples de executar, pois são derivadas fundamentais no cálculo. Uma vez que verificamos o valor de cada linha de nossa matriz wronskiana, podemos prosseguir para encontrar a expressão que expressa corretamente v e u. Encontramos os valores de u e v de acordo com as expressões que eles têm neste problema:

$\displaystyle I) u = x + 3 \sin (x) \\ II) v = x -\sin(x)$

Agora para calcular o Wronskiano de u e v vamos usar a expressão como referência:

$\displaystyle W(u,v)= \left |\left|\begin{array}{cc}u &v\\ u'& v' \end{array}\right|\right |$

Antes de encontrar nosso wronskiano vamos calcular as variáveis u' e v', onde u' e v' representam a derivada de u e v, realizando as derivadas de u e v obtemos:

$\displaystyle I) u' = \dfrac{d}{dx}\left (x + 3 \sin (x)\right)~\to~u'=\dfrac{d}{dx} x + \dfrac{ d}{dx }3\sin(x)\\\\ u' =1 -3\dfrac{d}{dx}\sin (x)~\to ~ u'= 1 +3 cos(x)\\\\\ II) v' = \dfrac{d}{dx}\left (x -\sin(x)\right)~\to~ v'=\dfrac{d}{dx} x -\dfrac{d}{dx}\sin (x)\\ v'= 1 - \cos(x)$

Substituímos o valor de cada variável na matriz que pode calcular o Wronskiano de nossas duas variáveis.

$\displaystyle W(u,v)= \left |\left|\begin{array}{cc}x +3\sin(x) &x-\sin(x)\\ 1+3\cos(x)& 1-\cos(x) \end{array}\right|\right |$

Aplicamos a regra de Cramer para encontrar o determinante da nossa matriz:

$\displaystyle W(u,v)=\left(x+3\sin(x)\right)\cdot \left(1-\cos(x)\right)-\left(x-\sin(x)\right)\cdot \left(1+3\cos(x)\right)\\\\ \boxed{\boxed{\quad ~\rm W(u,v)=- 4 x\cos(x)+4\sin(x)\quad ~}}$