Question

Prove que a expressão n 5 − n sempre resulta em um múltiplo de 5, n ∈ N.

Answer 1

Explicação passo a passo:

Se 5 divide n, a demonstração é direta.

Se 5 não divide n, então n é da forma:

     $n=5k\pm 1\quad\mathrm{ou}\quad n=5k\pm 2$

para algum k natural.

Estudemos os casos:

• $n=5k\pm 1:$

Elevando ambos os lados à quinta potência, temos

     $\Longrightarrow\quad n^5=(5k\pm 1)^5$

Expanda a potência do lado direito por Binômio de Newton.

     $\displaystyle n^5=\sum_{i=0}^5 \binom{5}{i}(5k)^{5-i}\cdot (\pm 1)^i\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^5=\sum_{i=0}^4 \binom{5}{i}(5k)^{5-i}\cdot (\pm 1)^i+\binom{5}{5}(5k)^{5-5}\cdot (\pm 1)^5\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^5=\sum_{i=0}^4 \binom{5}{i}(5k)^{5-i}\cdot (\pm 1)^i+\binom{5}{5}(5k)^0\cdot (\pm 1)^5\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^5=\sum_{i=0}^4 \binom{5}{i}(5k)^{5-i}\cdot (\pm 1)^i\pm 1\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^5=5\sum_{i=0}^4 \binom{5}{i}5^{4-i}\cdot k^{5-i}\cdot (\pm 1)^i\pm 1$

Fazendo $m=\sum_{i=0}^4 \binom{5}{i}5^{4-i}\cdot k^{5-i}\cdot (\pm 1)^i,$, com $m\in\mathbb{N},$ podemos escrever

     $\Longrightarrow\quad n^5=5m\pm 1$

Subtraindo $n=5k\pm 1$ da igualdade acima, membro a membro, temos

     $\Longrightarrow\quad n^5-n=(5m\pm 1)-(5k\pm 1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^5-n=5m\pm 1-5k\mp 1\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^5-n=5m-5k=5(m-k)$

Logo, $n^5-5$ é múltiplo de 5, para $n=5k\pm 1.$

• $n=5k\pm 2:$

Elevando ambos os lados à quinta potência, temos

     $\Longrightarrow\quad n^5=(5k\pm 2)^5$

Expanda a potência do lado direito por Binômio de Newton.

     $\displaystyle n^5=\sum_{i=0}^5 \binom{5}{i}(5k)^{5-i}\cdot (\pm 2)^i\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^5=\sum_{i=0}^4 \binom{5}{i}(5k)^{5-i}\cdot (\pm 2)^i+\binom{5}{5}(5k)^{5-5}\cdot (\pm 2)^5\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^5=\sum_{i=0}^4 \binom{5}{i}(5k)^{5-i}\cdot (\pm 1)^i+\binom{5}{5}(5k)^0\cdot (\pm 2)^5\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^5=\sum_{i=0}^4 \binom{5}{i}(5k)^{5-i}\cdot (\pm 1)^i\pm 2^5\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^5=5\sum_{i=0}^4 \binom{5}{i}5^{4-i}\cdot k^{5-i}\cdot (\pm 1)^i\pm 32\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^5=5\sum_{i=0}^4 \binom{5}{i}5^{4-i}\cdot k^{5-i}\cdot (\pm 1)^i\pm 5\cdot 6\pm 2$

Fazendo $m=\sum_{i=0}^4 \binom{5}{i}5^{4-i}\cdot k^{5-i}\cdot (\pm 1)^i\pm 6,$, com $m\in\mathbb{N},$ podemos escrever

     $\Longrightarrow\quad n^5=5m\pm 2$

Subtraindo $n=5k\pm 2$ da igualdade acima, membro a membro, temos

     $\Longrightarrow\quad n^5-n=(5m\pm 2)-(5k\pm 2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^5-n=5m\pm 2-5k\mp 2\\\\ \Longleftrightarrow\quad n^5-n=5m-5k=5(m-k)$

Logo, $n^5-5$ é múltiplo de 5, para $n=5k\pm 2.$

Dessa forma, chegamos ao resultado como queríamos demonstrar.

Bons estudos! :-)