Question

Se "a" e "b" são complementares, $0 \ \textless \ a \ \textless \ \frac{\pi}{2}$ e $0 \ \textless \ b \ \textless \ \frac{\pi}{2}$ e $\frac{sena+senb}{sena-senb} = \sqrt{3}$. Obtenha o valor da expressão: $sen(\frac{3a}{5}) + cos(3b)$

Answer 1

Resposta:   $\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{3a}{5}\right)+\cos(3b)=\sqrt{2}.$

Explicação passo a passo:

Partimos da equação dada:

     $\dfrac{\mathrm{sen}(a)+\mathrm{sen}(b)}{\mathrm{sen}(a)-\mathrm{sen}(b)}=\sqrt{3}\qquad\mathrm{(i)}$

Como a e b são complementares, temos

     $b=\dfrac{\pi}{2}-a\quad\Longrightarrow\quad \mathrm{sen}(b)=\cos(a)\qquad\mathrm{(ii)}$

Substituindo em (i), a equação fica

     $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\mathrm{sen}(a)+\cos(a)}{\mathrm{sen}(a)-\cos(a)}=\sqrt{3}$

Como cos(a) ≠ 0, podemos fatorá-lo, colocando-o em evidência no numerador e no denominador, e assim obtemos:

     $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\cos(a)\cdot (\frac{\mathrm{sen}(a)}{\cos(a)}+1)}{\cos(a)\cdot (\frac{\mathrm{sen}(a)}{\cos(a)}-1)}=\sqrt{3}$

Simplifique a fração:

     $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{~\frac{\mathrm{sen}(a)}{\cos(a)}+1~}{\frac{\mathrm{sen}(a)}{\cos(a)}-1}=\sqrt{3}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{\mathrm{tg}(a)+1}{\mathrm{tg}(a)-1}=\sqrt{3}$

Multiplique ambos os lados por - 1 para inverter os sinais:

     $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\mathrm{tg}(a)+1}{\mathrm{tg}(a)-1}\cdot (-1)=\sqrt{3}\cdot (-1)\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{1+\mathrm{tg}(a)}{1-\mathrm{tg}(a)}=-\,\sqrt{3}$

Como $1=\mathrm{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\!$ e $-\sqrt{3}=\mathrm{tg}\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\!,$ podemos reescrever a expressão acima como

     $\Longleftrightarrow\quad \dfrac{\mathrm{tg}(\frac{\pi}{4})+\mathrm{tg}(a)}{1-\mathrm{tg}(\frac{\pi}{4})\cdot \mathrm{tg}(a)}=\mathrm{tg}\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$

Identificamos o lado esquerdo como a tangente de uma soma:

     $\Longleftrightarrow\quad \mathrm{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{4}+a\right)=\mathrm{tg}\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$

Resolvendo a igualdade entre tangentes, temos

     $\Longleftrightarrow \quad \dfrac{\pi}{4}+a=-\,\dfrac{\pi}{3}+k\pi\\\\\\ \Longleftrightarrow \quad a=-\,\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\\\\\\ \Longleftrightarrow \quad a=-\,\dfrac{4\pi}{12}-\dfrac{3\pi}{12}+k\pi\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad a=-\,\dfrac{7\pi}{12}+k\pi\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad a=-\,\dfrac{7\pi}{12}+\dfrac{12k\pi}{12}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{\pi}{12}\cdot (-7+12k)$

com k inteiro.

Como queremos $0<a<\dfrac{\pi}{2}$, devemos fazer k = 1:

     $\Longrightarrow\quad a=\dfrac{\pi}{12}\cdot (-7+12\cdot 1)\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{5\pi}{12}\qquad\checkmark$

Logo,

     $\Longrightarrow\quad b=\dfrac{\pi}{2}-a\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad b=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{5\pi}{12}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad b=\dfrac{6\pi}{12}-\dfrac{5\pi}{12}\\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad b=\dfrac{\pi}{12}\qquad\checkmark$

O valor da expressão pedida é

     $\Longrightarrow\quad \mathrm{sen}\!\left(\dfrac{3a}{5}\right)+\cos(3b)\\\\\\ =\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{5\pi}{12}\right)+\cos\!\left(3\cdot \dfrac{\pi}{12}\right)\\\\\\ =\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\\\\\ =\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\\ =2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\\ =\sqrt{2}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

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Bons estudos!