Question

Desafio da semana. Uma escola tem 200 alunos e 200 armários numerados de 1 a 200. Inicialmente, todos os armários estão fechados. O primeiro aluno passa e abre todos os armários; o segundo passa e os fecha todos os armários divisíveis por 2; o terceiro passa e muda a posição de todos os divisíveis por 3, ou seja, os que estão abertos ele fecha e os que estão fechados ele abre; o quarto aluno muda a posição de todos os armários que são divisíveis por 4; e assim por diante até o ducentésimo aluno, que muda a posição dos armários que são divisíveis por 200. Depois da passagem de todos os alunos, quantos armários ficam fechados? Justifique.​

Answer 1

O que determinará se cada armário estará aberto ou fechado é a quantidade de divisores que este possui. Um número par de divisores resulta em um armário fechado, um número ímpar resulta em um armário aberto. Curiosamente, os únicos números que possuem um número ímpar de divisores são os quadrados perfeitos. Até 200 são eles: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169 e 196, totalizando 14 elementos. Portanto, 14 armários ficarão abertos e 186 ficarão fechados.