Question

Determine o resto da divisão de 2 elevado a 1000 por 11

Answer 1

Resposta:  O resto da divisão é 1 (um).

Explicação passo a passo:

Determinar o resto da divisão de $2^{1000}$ por 11.

Como 11 é primo, e 11 não divide 2, pelo Pequeno Teorema de Fermat, temos

     $2^{11-1}\equiv 1\quad\mathrm{(mod~11)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^{10}\equiv 1\quad\mathrm{(mod~11)}$

Elevando os dois lados da congruência a um natural n qualquer, temos

     $\Longrightarrow\quad (2^{10})^n\equiv 1^n\quad\mathrm{(mod~11)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^{10n}\equiv 1\quad\mathrm{(mod~11)}$

para todo n natural.

Em particular, para n = 100, temos

     $\Longrightarrow\quad 2^{10\,\cdot\,100}\equiv 1\quad\mathrm{(mod~11)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2^{1000}\equiv 1\quad\mathrm{(mod~11)}$

Logo, o resto da divisão de $2^{1000}$ por 11 é 1 (um).

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