Question

Qual é o resto da divisão de 1000! por 3ˆ300?

Answer 1

Desenvolvendo o $1000!$ :
$1000!= 1 \cdot 2 \cdot \textbf3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \textbf6 \cdot ... \cdot \textbf{900} \cdot ... \cdot 1000$

Veja que esses números destacados são poucos dentre todos os múltiplos de 3 em 1000 (que são, precisamente, 333). Cada um destes múltiplos tem, no mínimo, um fator 3 em sua composição:
$3 = 3 \cdot 1\\6 = 3 \cdot 2\\900 = 3 \cdot 300$

E isso não garante que não haja mais fatores em um só número (caso do $27 = 3^3$). Esses fatores 3 nos termos de 1000! nos permitiriam reescrevê-lo deste modo:

$1000!= 1 \cdot 2 \cdot (\textbf3 \cdot \textbf1) \cdot 4 \cdot 5 \cdot (\textbf3 \cdot \textbf2) \cdot ... \cdot (\textbf3 \cdot \textbf{300}) \cdot ... \cdot 1000$

Então, já para começar, vemos evidentemente que $3^{300}$ é um fator de 1000!, já que 1000! possui 333 fatores múltiplos de 3, e estes fatores têm, no mínimo, um fator 3 em sua composição. Isto significa que 1000! poderia ser reescrito deste modo:
$1000! = 3^{300}x$
sendo x o produto de todos os outros números, e inclusive alguns fatores 3 que não colocamos na potência ao lado.

Logo:
$\cfrac{1000!}{3^{300}} = \cfrac{3^{300}x}{3^{300}} = x$

A divisão exata nos permite concluir que o resto é zero na divisão de $1000!$por $3^{300}$.