Question

Dados os pontos A (2,3)B(-2,-5) e C (-1,-3),eles são colineares . Sim ou nao

Answer 1

Desejamos descobrir se os pontos $\displaystyle\begin{gathered} \bf A(2,3)\end{gathered}$, $\displaystyle\begin{gathered} \bf B(-2,-5)\end{gathered}$ e $\displaystyle\begin{gathered} \bf C(-1,-3)\end{gathered}$ são colineares ou não, ou seja, desejamos descobrir se os pontos $\displaystyle\begin{gathered} \bf A\end{gathered}$ , $\displaystyle\begin{gathered} \bf B\end{gathered}$ e $\displaystyle\begin{gathered} \bf C\end{gathered}$ fazem parte da mesma reta.

Para isso, podemos verificar se três pontos são colineares por determinantes utilizando a seguinte fórmula:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \left|\begin{array}{ccc}A_x&A_y&1\\B_x&B_y&1\\C_x&C_y&1\end{array}\right|\end{gathered}$

Sendo que se o determinante for igual a zero, temos que os pontos são colineares e se o determinante der diferente de zero, eles não seram colineares. Logo, jogando os dados na fórmula, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \left|\begin{array}{ccc}2&3&1\\-2&-5&1\\-1&-3&1\end{array}\right|\end{gathered}$

Aplicando a Regra de Sarrus, surge que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \left|\begin{array}{ccc}2&3&1\\-2&-5&1\\-1&-3&1\end{array}\right|\large\displaystyle\begin{gathered} \left.\begin{array}{ccc}2&3\\-2&-5\\-1&-3\end{array}\right|\end{gathered}\end{gathered} }$

Por fim, temos que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}-10-3+6-(5-6-6)=0\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}-7-(-7)=0\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}-7+7=0\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\boxed{0=0}\end{gathered}$

⊕ Portanto, os pontos  $\displaystyle\begin{gathered} \bf A(2,3)\end{gathered}$, $\displaystyle\begin{gathered} \bf B(-2,-5)\end{gathered}$ e $\displaystyle\begin{gathered} \bf C(-1,-3)\end{gathered}$ são colineares.

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