Question

Fatore a expressão, simplifique-a e calcule seu valor numérico

Answer 1

O valor da expressão é 9

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Bem para simplificar essa expressão, podemos fazer pelo método normal que é mais trabalhoso ou podemos simplificar por produtos notáveis

Lembre-se dos principais produtos notáveis

$A^2-B^2=(A+B)\cdot (A-B)$

$(A-B)=A^2-2AB+B^2$

$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$

é também lembre que na questão A-B é igual a 3, provavelmente essa expressão vai resulta em A-B e teremos que substituir

Vamos lá

$\dfrac{a^4-b^4}{a^2+2ab+b^2}\cdot \dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$

Bem logo de cara podemos usar alguns produtos notáveis que vimos acima

$\dfrac{a^4-b^4}{a^2+2ab+b^2}\cdot \dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\Rightarrow\boxed{ \dfrac{a^4-b^4}{(a+b)^2}\cdot \dfrac{(a+b)\cdot (a-b)}{a^2+b^2}}$

Bem agora podemos usar produtos notáveis para simplificar  $a^4-b^4$

Podemos reescrever essa expressão como:

• Lembre-se das propriedade de potencia  $(A^B)^C=A^{(B\cdot C)}$

$A^4-B^4\Rightarrow\boxed{ (A^2)^2-(B^2)^2}$

utilizando o produto notável  $A^2-B^2=(A+B)\cdot (A-B)$ podemos chamar $A^2$ de A e $B^2$ de B

Então podemos reescrever essa expressão assim:

$A^4-B^4\Rightarrow{ (A^2)^2-(B^2)^2}\Rightarrow \boxed{(A^2+B^2)\cdot (A^2-B^2)}$

agora perceba que chegamos num $(A^2-B^2)$ e isso é exatamente o produto notável   $A^2-B^2=(A+B)\cdot (A-B)$ então podemo reescrever de outra forma

$A^4-B^4\Rightarrow{ (A^2)^2-(B^2)^2}\Rightarrow (A^2+B^2)\cdot (A^2-B^2)\Rightarrow \boxed{(A^2+B^2)\cdot (A+B)\cdot (A-B)}$

Então concluirmos que $\boxed{A^4-B^4= (A^2+B^2)\cdot (A+B)\cdot(A-B)}$ eu sei que parece que estamos complicando ao invés de simplificar Mas, tudo ira ficar mais fácil pois podemos contar  tudo no final

Substituindo na expressão final

$\dfrac{a^4-b^4}{(a+b)^2}\cdot \dfrac{(a+b)\cdot (a-b)}{a^2+b^2}\Rightarrow\boxed{\dfrac{(a^2+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a-b)}{(a+b)^2}\cdot \dfrac{(a+b)\cdot (a-b)}{a^2+b^2}}$

Pronto agora gostaria de lembra que quando elevamos uma expressão ao quadrado estamos dizendo que ela está sendo multiplicada por ela mesma

por exemplo $X^2=X\cdot X$ então $(a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)$

estão podemos substituir, na expressão

$\dfrac{(a^2+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a-b)}{(a+b)^2}\cdot \dfrac{(a+b)\cdot (a-b)}{a^2+b^2}\Rightarrow\boxed{\dfrac{(a^2+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a-b)}{(a+b)\cdot (a+b)}\cdot \dfrac{(a+b)\cdot (a-b)}{a^2+b^2}}$

agora sim podemos simplificar a expressão, Lembre-se quando temos a mesma expressão só que uma no numerador é outra no denominador podemos corta-las da equação  por 1

$\dfrac{x\cdot y}{x}= \dfrac{1\cdot y}{1}=y$

mas antes vamos multiplicar as expressão

$\dfrac{(a^2+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a-b)}{(a+b)\cdot (a+b)}\cdot \dfrac{(a+b)\cdot (a-b)}{a^2+b^2}\Rightarrow \boxed{\dfrac{(a^2+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a-b)\cdot (a+b)\cdot (a-b)}{(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a^2+b^2)}}$

Basta simplificarmos os termos semelhantes

$\dfrac{(a^2+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a-b)\cdot (a+b)\cdot (a-b)}{(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a^2+b^2)}=\dfrac{1\cdot 1\cdot (a-b)\cdot 1\cdot (a-b)}{1\cdot 1\cdot 1}=\boxed{\dfrac{(a-b)\cdot (a-b)}{1} }$

Perceba que só cortamos os termos semelhantes

é  ficamos justamente com (A-B) é a questão nos fala que (A-B)=3 então basta substituir

$\dfrac{(a-b)\cdot (a-b)}{1} }\Rightarrow\dfrac{3\cdot 3}{1} \Rightarrow\dfrac{9}{1} \Rightarrow\boxed{9}$

Então o valor numérico da expressão é 9