Matéria: Matemática
Autor: edemarfpjunior
Perguntado 3 anos atrás

Se f (x, y) = 100( y + 1) representa a densidade populacional de um região plana da Terra, onde x e y são medidos em milhas, encontre o número de pessoas na região limitada pela região retangular = [1,2] × [2,3].

Respostas

respondido por: Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema podemos concluir que o valor do número de pessoas que estão na região delimitada pela região retangular [1,2] x [2,3] é igual a 250 pessoas.

Para resolver este problema, devemos usar o cálculo integral e as integrais duplas.

Integrais duplas são uma maneira de integrar em uma região bidimensional. Entre outras coisas, eles nos permitem calcular o volume sob uma superfície ou calcular a área entre duas funções. Para calcular a integral dupla de uma região retangular podemos usar a seguinte notação: Digamos que a região seja limitada por [a,b] x [c,d], para encontrar a integral dupla dessa região podemos levar em consideração:

$\displaystyle \large N= \iint _ D f(x,y) dx dy$

Onde o "D" é a região limitada do retângulo nos intervalos já definidos, então a integral é:

$\displaystyle \large N= \int ^b _ a\int ^d _ c f(x,y) dx dy$

Como nosso problema diz que a função de densidade populacional f (x, y) = 100(y + 1) é limitada pela região retangular nos intervalos [1,2] × [2,3]. Se substituirmos o valor de nossos intervalos na expressão de nossa integral, obtemos:

$\displaystyle \large N=\int ^2 _ 1\int ^3 _ 2 f(x,y) dx dy$

Onde a função que vamos para integral f(x,y) é igual a função densidade, substituindo o valor da nossa função obtemos:

$\displaystyle \large N=\int ^2 _ 1\int ^3 _ 2 100(y+1) dx dy \\\\ \displaystyle\large N= \int ^2 _ 1\int ^3 _ 2 100y+100 dx dy$

Calculamos o valor da primeira integral:

$\displaystyle \large N=\int ^2 _1 100xy+ 100 x\bigg|^3 _2 dy\\\\\displaystyle \large N= \int^2 _1 (100 \cdot3 \cdot y + 100\cdot 3)- (100 \cdot 2 \cdot y+ 100\cdot2 )dy\\\\ \displaystyle \large N= \int^2 _1 (300 y + 300)-(200 y + 200) \\\\ \displaystyle \large N=\int^2 _1 300 y + 300-200 y -200\\\\ \displaystyle \large N=\int^2 _1 100 y + 100$

Calculamos o valor da segunda integral:

$\displaystyle \large N= \int^2 _1 100 y + 100\\\\ \displaystyle \large N= \dfrac{100 y^{1+1}}{1+1} +100 y \bigg|^2 _ 1\\\\ \displaystyle \large N=\dfrac{100 y^2}{2} + 100 y\bigg |^2 _ 1\\\\ \displaystyle \large N=50 y ^2 + 100 y\bigg |^2 _ 1 \\\\ \displaystyle \large N = (50 \cdot 2^2+ 100\cdot 2)-(50\cdot 1^2+100\cdot 1) \\\\ \displaystyle \large N = 400 - 150\\\\ \displaystyle \boxed{\boxed{ \large N = 250~pessoas}}$