Question

qual e a area do circulo limitado pela circunferencia de equação x² + y² + 2x - 4y - 31=0?

Answer 1

A área do circulo pode ser determinada usando a seguinte expressão:

A = π × r²

 

Para calcular a área vamos precisar de saber o raio do circulo!

 

 

Expressão geral da circunferencia:

x2y2 + mx + nx + p = 0

m = -2xc

n = -2yc

p = xc² + yc² - r² ⇒ r = √(xc² + yc² -p)

Nosso exmeplo:

x² + y² + 2x - 4y - 31=0?

 

Então:

m = -2xc ⇒ xc = -m/2 ⇒ xc = -2/2 ⇒ xc = -1

n = -2yc ⇒ yc = -n/2 ⇒ yc = -(-4)/2 ⇒ yc = 2

Finalmente podemos calculcar o raio do circulo:

r = √(-1²+2²-(-31)) ⇔

r = √(1 + 4 + 31) ⇔

r = √36 ⇔

r = 6

 

 

Agora podemos calcular a área do circulo:

A = π × r²

A = π × 6²

A = 36π

Answer 2

• Utilizando o método do círculo limitado pela circunferência de quadrados temos:

$\sf x^2 + y^2 + 2x - 4y - 31=0\Rightarrow x^2+2x+y^2-4y-31=\sf \underbrace{\sf 1-1+4-4} \Rightarrow \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0$

$\sf ~~~~~~~(x+1)^2~~~~~~~(y-2)^2\\\sf \Rightarrow \overbrace{\sf x^2+2x+1}+\overbrace{\sf y^2-4y+4}=31+1+4\Rightarrow(x+1)^2+(y-2)^2=6^2$

• Logo, a equação representa uma circunferência com centro em (-1,2) e raio de medida 6.  

• Portanto, a área do círculo é:

$\sf A=\pi r^2=3,14\cdot6^2=113,04\\\\\\\boxed{\boxed{\sf S=\{113,04 ~u.a \}}}$

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