Em geral, utilizamos as técnicas de interpolação numérica quando não dispomos da lei de uma função image0085e2f3a8e_20211112220002.gif ou quando a lei apresenta dificuldades acentuadas para o cômputo dos valores. Um exemplo que ilustra essas afirmações é o seguinte: a integral elíptica completa é definida por image0325e2f3a8e_20211112220002.gif Por uma tabela de valores dessa integral, encontramos image0335e2f3a8e_20211112220003.gife image0345e2f3a8e_20211112220003.gif Usando interpolação linear, determine o polinômio interpolador que aproxima essa função no intervalo dado. FRANCO, N. M. B. Cálculo numérico. São Paulo: Editora Pearson, 2006. p. 294.

Respostas

respondido por: rodrigolima147

Resposta:

Explicação passo a passo:

Anexos:

respondido por: dugras

O polinômio interpolador que aproxima essa função no intervalo dado é f(x) = 0,00045x² -0,00031x +1,57018

Interpolação quadrática

Existem muitas maneiras de se fazer a interpolação quadrática, que é, a partir de três pontos do gráfico, escrever a função dada como:

P(x) = ax² + bx + c

Pelo método das Diferenças Divididas de Newton, fazemos assim:

$P(x) = b_0 + b_1(x - x_0) + b_2(x - x_0)(x - x_1)\\\\b_0 = f(x_0)\\\\b_1 = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\\\\b_2 = \frac{\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}-\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}{x_2 - x_0}$

No problema apresentado temos:

x₀ = 1, f(x₀) = 1,5708;
x₁ = 2, f(x₁) = 1,5719;
x₂ = 3, f(x₂) = 1,5739.

Aplicando as fórmulas temos:

$b_0 = 1,5708\\\\b_1 = \frac{1,5719-1,5708}{2-1}\\b_1= 0,0011\\\\b_2 = \frac{\frac{1,5739-1,5719}{3-2}-\frac{1,5719-1,5708}{2-1}}{3 -1}\\b_2 = \frac{0,0020-0,0011}{2}\\b_2 = \frac{0,0009}{2} = 0,00045$