Question

João tem 8 anos e Marcos tem 5 anos. daqui a quantos anos o produto das idades deles será igual a 180​

Answer 1

Conforme o sistema criado, o produto das idades deles será 180, daqui a 7 anos.

Vamos precisar montar um sistema de equações e utilizar a fórmula de Bháskara para o cálculo

→ Sistema é um conjunto de equações com duas, ou mais, variáveis e, cada uma delas possuem o mesmo valor em todas as equações.

→ Para calcular uma equação do 2º grau podemos utilizar a fórmula de Bháskara:

  $\large \text { x= \dfrac{-b \pm \sqrt {\Delta} }{2.a} }$           $\large Com:~~\Delta= b^2-4.a.c$

Vamos aos dados que temos:

J = 8

M = 5

$\large J - M = 8 - 5 \Rightarrow J - M = 3$

Essa diferença, independente do ano que estivermos, sempre será a mesma.

Montando o sistema:

$\large 1^a)~J - M = 3 \implies J = M + 3$

$\large 2^a)~J ~. ~M = 180$

Vamos substituir esse dado da 1ª) na 2ª)

$\large J ~. ~M = 180$

$\large (M + 3) ~. ~M = 180$

$\large M^2 + 3M = 180$

Temos agora uma equação do 2º grau:

$\large M^2 + 3M - 180 = 0$     com a=1, b=3, c=-180

$\large \Delta= b^2-4.a.c$

$\large \Delta= 3^2-4.1.(-180)$

$\large \Delta= 9 + 720$

$\large \Delta= 729$

$\large \text { M= \dfrac{-3 \pm \sqrt {729} }{2.1} \Rightarrow M= \dfrac{-3 \pm 27}{2} }$

$\large M'= \dfrac{-3 + 27}{2} \Rightarrow M'=\dfrac{24}{2} \Rightarrow \boxed{M'=12}$

$\large M''= \dfrac{-3 - 27}{2} \Rightarrow M''=\dfrac{-30}{2} \Rightarrow \boxed{M''=-15}$

Como estamos tratando de idades, consideraremos apenas o resultado positivo.

⇒ Quando Marcos tiver 12 anos.

Como hoje Marcos tem 5 anos:

$\large 12 = 5 + x$

$\large x = 12 - 5$

$\large x = \boxed{7}$

Vamos conferir:

Daqui a 7 anos:

$\large M = 5 + 7 = 12~anos$

$\large J = 8 + 7 = 15~ anos$

O produto das idades deles:

$\large M~.~J = 12 ~.~15 = \boxed{ 180} ~Perfeito!!$

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