Question

Alguém pode me ensinar macetes para aprender a fazer o Teorema de Fermat, aritmética congruência modular e classe inversa?

E se puder responder a questão abaixo:

Seja p um número natural. p ≡ 1 (mod 10), encontre os valores de x ∈ ℕ, tais que 10x ≡ 1 (mod p).​​

Muito obrigado à quem responder.​

Answer 1

Resposta:   $x=\dfrac{(10n+9)p+1}{10}$

com n ∈ ℕ,

ou em forma de congruência,

   $x\equiv \dfrac{9p+1}{10}\quad\mathrm{(mod~}p).$

Explicação passo a passo:

     $p\equiv 1\quad \mathrm{(mod~}10)\\\\ \Longrightarrow\quad p=10k+1\qquad\mathrm{(i)}$

para algum k ∈ ℕ.

Podemos afirmar que o algarismo das unidades de p é 1 e que mdc(10, p) = 1, já que p não é par e não é múltiplo de 5.

Queremos resolver a equação

     $10x\equiv 1\quad\mathrm{(mod~}p)\qquad\mathrm{(ii)}$

Como mdc(10, p) = 1, a equação acima possui solução para x, e por definição, tais valores de x formam classe inversa de 10, módulo p.

Para resolver a equação (ii), devemos encontrar os valores naturais de x, tais que

     $10x=py+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 10x-1=py\qquad\mathrm{(iii)}$

para algum y ∈ ℕ.

Da equação (iii), podemos concluir que $py$ é um número que termina em 9. Logo, para resolvermos a equação, basta encontrarmos algum múltiplo de p cujo algarismo das unidades é 9.

     Multiplicando a equação (i) por 9 dos dois lados, temos

    $\Longrightarrow\quad 9p=9\cdot (10k+1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9p=90k+9$

Some 1 aos dois lados da igualdade:

    $\Longleftrightarrow\quad 9p+1=90k+9+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9p+1=90k+10\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9p+1=10\cdot (9k+1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 9p+1=10k_1\qquad\mathrm{(iv)}$

com $k_1=9k+1.$

Então, obtemos uma solução da a equação (iii) para y = 9:

     $\Longrightarrow\quad 10x=9p+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{9p+1}{10}\qquad\mathrm{(v)}$

Sendo assim, $x=\dfrac{9p+1}{10}$ é uma solução da equação (ii), isto é, x é um representante da classe inversa de 10, módulo p.

A solução geral de (ii) é dada por

     $\Longleftrightarrow\quad x\equiv \dfrac{9p+1}{10}\quad\mathrm{(mod~}p)$

ou de forma equivalente,

     $\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{9p+1}{10}+pn\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{9p+1}{10}+\dfrac{10pn}{10}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{9p+1+10pn}{10}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{(10n+9)p+1}{10}\qquad\checkmark$

com n ∈ ℕ.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)