Question

A) Se F é uma função expressa de forma algébrica por F(X)= X+3/X-2, onde X é diferente de 2, e F-¹ é a sua função inversa, então f-¹(3/2) é igual a:
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Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que a função inversa é de $\large \displaystyle \text { \mathsf{ f^{-1} \: \left( 3/2 \right) = 12 } }$.

Uma função $\textstyle \sf \sf y = f(x)$  é inversível se e somente se ela é injetora e sobrejetora.

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf f^{-1} (y) = x \Leftrightarrow f(x) = y }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf f(x) = \dfrac{x+3}{x-2} \\ \\ \sf x \neq 2 \\ \\\sf f^{-1} \: \left( \dfrac{3}{2} \right) = \:? \end{cases} } }$

Resolvendo, temos;

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{x+3}{x-2} } }$

Devemos trocar y por x e x por y:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{y+3}{y-2} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{y + 3 = x \cdot (y-2) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y+3 = xy -2x }$

Isolar y:

$\Large \displaystyle \mathsf{ y -xy = -2x - 3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y \cdot (1 -x) = -2x - 3 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \frac{-2x - 3}{1 - x} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f^{-1} \: (x) = \dfrac{-2x - 3}{1 - x} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f^{-1} \: \left( 3/2 \right) = \sf \dfrac{-2 \cdot \frac{3}{2} - 3}{1 - 3/2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f^{-1} \: \left( 3/2 \right) = \sf \dfrac{- \frac{6}{2} - 3}{2/2 - 3/2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f^{-1} \: \left( 3/2\right) = \sf \dfrac{- 3 - 3}{ - 1/2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f^{-1} \: \left( 3/2 \right) = \sf \dfrac{- 6}{ - 1/2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f^{-1} \: \left(3/2 \right) = -6 \cdot (-2) } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf f^{-1} \: \left( 3/2 \right) = 12 }$

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