Question

a)Em quantos anagramas da palavra CAVALO as letras A estão juntas?

b)Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes.Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas contendo no mínimo 1 diretor?

Answer 1

a) Para facilitar, considere AA como se fosse uma única letra. Começando com AA, só há uma maneira de escolher o AA, uma vez que os dois "As" são iguais. A partir daí tem-se 4*3*2*1 = 24 modos de se agrupar as letras restantes. Mas o AA, pode ocupar também qualquer uma das 4 posições: 2ª, 3ª, 4ª ou 5ª. Então o total de posições que pode ocupar o AA são 5. Logo, 24*5 = 120 anagramas. 
b) 
1 diretor e 4 gerentes: 
C(3,1)*C(5,4) = 3*5 = 15 
2 diretores e 3 gerentes: 
C(3,2)*C(5,3) = 3* 10 = 30 
3 diretores e 2 gerentes: 
C(3,3)*C(5,2) = 1*10 =10 
Total ==> 15+30+10 = 55 comissões.

Answer 2

Resposta:

Questão - a) 120 <= número de anagramas

Questão b)  55 comissões

Explicação passo-a-passo:

.

Questão - a)

"..Em quantos anagramas da palavra CAVALO as letras A estão juntas?.."

Vamos agrupar os 2 (AA) como se fossem uma única letra ..donde resultam 5 letras para permutar entre si

Assim o número (N) de anagramas possíveis de fazer será dado por:

N = 5!

N = 5.4.3.2.1

N = 120 <= número de anagramas  

Questão b)

"..Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas contendo no mínimo 1 diretor?.."

=> Note que a questão "pede" comissões com PELO MENOS 1 diretor  

..ou seja as comissões podem ser formadas por:

..1 diretor + 4 gerentes ..donde resulta: C(3,1) . C(5,4)

..2 diretores + 3 gerentes ..donde resulta: C(3,2) . C(5,3)

..3 diretores + 2 gerentes ..donde resulta: C(3,3) . C(5,2)

=> Esta questão pode ser resolvida de 2 formas:

..ou calculamos todas as possibilidades acima e as somamos donde resulta:

N = [C(3,1) . C(5,4)] + [C(3,2) . C(5,3)] + [C(3,3) . C(5,2)]

..ou recorremos ao conceito de conjunto complementar) ..note que só NÃO INTERESSAM as comissões em que não esteja presente NENHUM diretor, assim bastaria calcular o total de comissões de 5 pessoas possíveis de formar com as 8 iniciais C(8,5) ...e subtrair as comissões formadas só com gerentes C(5,5) :

N = C(8,5) - C(5,5)

N = [8!/5!(8-5)!] - [5!/5!(5-5)!]

N = [8!/5!3!] - [5!/5!0!]

N = [8.7.6.5!/5!3!] - [5!/5!1]

N = [8.7.6/3!] - [1]

N = [8.7.6/6] - [1]

N = [8.7] - [1]

N = 56 - 1

N = 55 comissões

Espero ter ajudado