Question

Obter um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A(2, 3, 1) B (1, -1, 1) e C (4, 1, -2).

Answer 1

O vetor ortogonal ao plano será (12,-3,10).

O primeiro passo é descobrirmos a equação do plano, dados os três pontos A, B e C. Para tal, vamos calcular:

u = AB = B - A = (1,-1,1) - (2,3,1) = (1-2, -1-3, 1-1) = (-1,-4,0)

v = AC = C - A = (4,1,-2) - (2,3,1) = (4-2, 1-3, -2-1) = (2,-2,-3)

E um terceiro elemento w = (x,y,z).

Portanto, a matriz do plano será:

$\left[\begin{array}{ccc}x - 2&y - 3&z - 1\\-1&-4&0\\2&-2&-3\end{array}\right]$

Aplicando qualquer técnica de resolução (podemos utilizar o Método de Sarrus, por exemplo) obtemos o seguinte valor para o determinante dessa matriz:

12x - 3y + 10z - 25

Esta é a equação do plano. Agora, intuitivamente podemos obter o valor do vetor ortogonal:

12x - 3y + 10z - 25 = 0

n = 12i - 3j + 10k = (12,-3,10)

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