Question

como resolver, essa equação:
(x-5)²=(2x-3)²

Answer 1

De acordo com os cálculos abaixo, as soluções desta equação são $x\in\left\{-2\;;\;\frac{8}{3}\right\}$.

Vamos entender o porquê?

Neste tipo de equações, sempre que seja possível, é preferível expandir os casos notáveis da multiplicação do que tirar as raizes quadradas de ambos os membros da equação.

Isto porque a raiz quadrada pode introduzir soluções falsas, enquanto que a expansão dos casos notáveis não causa esse erro.

Para tal, vamos relembrar os Casos Notáveis da Multiplicação:

$\bullet\;\;(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\\\\bullet\;\;(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\\\\bullet\;\;(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Com isto em mente, passemos aos cálculos.

    $(x-5)^2=(2x-3)^2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^2-2\times x\times5+5^2=(2x)^2-2\times2x\times3+3^2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^2-10x+25=4x^2-12x+9\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^2-10x+25-4x^2+12x-9=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -3x^2+2x+16=0$

Aplicando a Fórmula Resolvente para Equações do Segundo Grau Completas (ou Fórmula de Bhaskara), temos:

    $x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\times(-3)\times16}}{2\times(-3)}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+12\times16}}{-6}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+192}}{-6}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm\sqrt{196}}{-6}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm14}{-6}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-2-14}{-6}\quad\vee\quad x=\dfrac{-2+14}{-6}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-16}{-6}\quad\vee\quad x=\dfrac{12}{-6}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{8}{3}\quad\vee\quad x=-2$

$\therefore\;x\in\left\{-2\;;\;\dfrac{8}{3}\right\}$

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