Question

Resolva a seguinte integral usando a função gamma como auxílio:
$\displaystyle \int^{+\infty }_0 4e^{-3x^3}x^5 dx$

Answer 1

• Através da função gamma, temos que o resultado da sua integral impropria é igual a  $\displaystyle\begin{gathered} \sf \frac{4}{27} \end{gathered}$ .

Desejamos resolver a seguinte integral utilizando a função gamma:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \sf \int_0^{+\infty}4e^{-3x^3}x^5dx\end{gathered}$

Sendo a função gamma dada por uma integral impropria, sendo ela:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \boxed{\Gamma\sf (n+1)=\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}dx=n!} \end{gathered} }$

Bom, vamos tentar deixar a integral que queremos da forma mais semelhante possível com a função gamma. Para isso, vamos fazer a  seguinte substituição:

 $\large\displaystyle\begin{gathered} \bullet\ \sf u=3x^3\end{gathered}$

 $\large\displaystyle\begin{gathered} \bullet\ \sf du=9x^2 dx\end{gathered}$

 $\large\displaystyle\begin{gathered}\bullet \ \sf \frac{du}{9x^2}= dx\end{gathered}$

Logo, surge que:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \sf \int_0^{+\infty}4e^{-u}x^5\frac{du}{9x^2} \end{gathered}$

E pela lineariedade:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \sf \frac{4}{9} \int_0^{+\infty}e^{-u}x^5\frac{du}{x^2} \end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \sf \frac{4}{9} \int_0^{+\infty}e^{-u}x^3du \end{gathered}$

Substituindo $\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \frac{u}{3}=x^3\end{gathered}$, ficamos por fim:

$\large\displaystyle\begin{gathered} \sf \frac{4}{9} \int_0^{+\infty}e^{-u}\cdot \frac{u}{3} du \end{gathered}$

E pela função gamma, temos que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf \frac{4}{27}\underbrace{\sf \int_0^{+\infty}e^{-u}\cdot u du}_{\large\displaystyle\begin{gathered} \Longrightarrow 1! \end{gathered}} \end{gathered} }$

Logo, a resposta da sua integral é igual a:

$\boxtimes\ \large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\sf \int_0^{+\infty}4e^{-3x^3}x^5dx=\frac{4}{27}}}\end{gathered} }$

Qualquer dúvida quanto a resolução dada é só chamar!

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