Question

Determine os dois ultimos algarismos do numero $7^{7^{7} }$

Answer 1

Resposta: Os dois últimos algarismos são 43.

Explicação passo a passo:

Encontrar os dois últimos algarismos de $7^{(7^7)}$ é equivalente a calcular o resto da divisão de $7^{(7^7)}$ por 100.

Utilizaremos como ponto de partida a congruência a seguir:

     $7^4=2401=24\cdot 100+1\\\\ \Longrightarrow\quad 7^4\equiv 1\quad\mathrm{(mod~}100)$

Elevando ambos os lados a um natural n qualquer, temos

     $\Longrightarrow\quad (7^4)^n\equiv 1^n\quad\mathrm{(mod~}100)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7^{4n}\equiv 1\quad\mathrm{(mod~}100)\qquad\mathrm{(i)}$

para todo n ∈ ℕ.

Como 7 elevado a qualquer múltiplo de 4 deixa resto 1 na divisão por 100, devemos encontrar o resto da divisão do expoente $7^7$ por 4:

     $7^2=49=12\cdot 4+1\\\\ \Longrightarrow\quad 7^2\equiv 1\qquad\mathrm{(mod~}4)$

Eleve os dois lados da congruência ao cubo:

     $\Longrightarrow\quad (7^2)^3\equiv 1^3\quad\mathrm{(mod~}4)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7^6\equiv 1\quad\mathrm{(mod~}4)$

Multiplique os dois lados por 7:

     $\Longleftrightarrow\quad 7^6\cdot 7\equiv 1\cdot 7\quad\mathrm{(mod~}4)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7^7\equiv 7\equiv 3\quad\mathrm{(mod~}4)\qquad\mathrm{(ii)}$

Logo, podemos escrever

     $\overset{\mathrm{(ii)}}{\Longleftrightarrow}\quad 7^7=4m+3$

para algum m ∈ ℕ.

Disso, segue que

     $\Longleftrightarrow 7^{(7^7)}=7^{4m+3}\\\\ \Longleftrightarrow 7^{(7^7)}=7^{4m}\cdot 7^3$

Tomando os resíduos módulo 100, temos

     $\Longrightarrow\quad 7^{(7^7)}\equiv 7^{4m}\cdot 7^3\quad\mathrm{(mod~}100)\\\\ \overset{\mathrm{(i)}}{\Longleftrightarrow}\quad 7^{(7^7)}\equiv 1\cdot 7^3\quad\mathrm{(mod~}100)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 7^{(7^7)}\equiv 343\equiv 43\quad\mathrm{(mod~}100)\qquad\checkmark$

Logo, os dois últimos algarismos de $7^{(7^7)}$ são 43.

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