Question

Qual a derivada de terceira ordem da função f(x) = tg(x)?​

Answer 1

Resposta:

Olá boa noite!

f(x) = tg x

A primeira derivada obtém-se diretamente:

f'(x) = sec²x

Para a segunda derivada, aplicamos a regra da cadeia:

f''(x) = 2*(sec x)*(sec x)'

f''(x) = 2*(sec x)*(sec x)*(tg x)

f''(x) = 2*(sec²x)*(tg x)

Para a 3a derivada, 2 é constante e aplica-se a regra do produto para (sec²x)*(tg x):

u = sec²x

v = tg x

(u*v)' = u'*v + u*v'

Repare que do processo anterior obtivemos a derivada de tg x e sec²x.

u' = 2*sec²x * tg x

v' = sec²x

(u*v)' = 2*sec²x * tg x * tg x + sec²x * sec²x

(u*v)' = 2*sec²x * tg²x + $sec^4$x

f'''(x) = 2*[ 2*sec²x * tg²x + $sec^4$x]

f'''(x) = 4*sec²x*tgx + 2* $sec^4$x

Essa é a resposta.

OBS

Pelas relação entre tangente e secante:

tg²α + 1 = sec²α

Pode-se chegar a uma resposta mais simplificada.