Question

(Aritmética: Congruência modular)

Mostre que a equação x² ≡ 86 (mod 100) não possui soluções inteiras para x, isto é, não existe inteiro que ao ser elevado ao quadrado resulte em um número cujos dois últimos algarismos são 86.
​

Answer 1

Os últimos dois algarismos do número serão dados pelo produto yz², sendo y e z ALGARISMOS que compõem o número final. Ou seja, um número cujo penúltimo algarismo é y e último algarismo é z "resulta" (ou deveria resultar) em 86. Desse modo:

    y       z

*   y       z

  uyz   uzz

  uyz

  dzz

Essa "entidade" acima é uma precária representação de yz². uzz significa que as UNIDADES do produto zz ficarão nessa posição. De mesmo modo, acontece com uyz. Já dzz são simplesmente as dezenas do produto zz. Veja, então, que:

uzz = 6

2(uyz) + dzz = 8

Para que as unidades de zz sejam 6, z deve ser 4 ou 6. Logo, dzz é 1 ou 3 (derivado de 16 ou 36). Então:

2(uyz) + (1 ou 3) = 8

O que significa que 2(uyz) é ímpar, e, consequentemente, que uyz é a metade de um ímpar (número racional). Como uyz surgiu do produto de dois números naturais, este não pode ser racional, portanto não há valor de x que cumpra os requisitos solicitados.

Sinto muito pela deselegante """demonstração""", realmente não estava inspirado.