Question

Suponha que 1⁄4 da massa de um automóvel, no caso igual a 300 kg, fique apoiada em uma roda ligada à suspensão, cuja mola tem uma constante elástica de 10000 N/m. Calcule o período e a frequência de vibração do sistema sem amortecedor.

Answer 1

Após a resolução dos dados do enunciado concluímos que o período T = 0,5 s e a frequência de vibração f = 1,8 Hz.

Vibração mecânica é o movimento que oscila em torno de uma posição de equilíbrio.

Período é o tempo necessário para a partícula completar um ciclo completo.

Frequência é número de ciclo por unidade de tempo.

Expressão para a pulsação do MHS:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \omega = \sqrt{ \dfrac{m}{k} } } }$

Sendo que:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \omega =\dfrac{2\pi}{T} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{2\pi}{T} = \sqrt{\dfrac{k}{m} } \quad\Rightarrow } } \Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ T = 2\pi\:\sqrt{ \dfrac{m}{k} } } } }$

A frequência é igual ao inverso do período, temos:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ f = \dfrac{1}{2\pi}\: \sqrt{ \dfrac{k}{m} } } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf m = \dfrac{1}{4} \cdot 300\: kg = 75\: kg \\ \sf k = 10\:000\; N/m \\ \sf T = \:?\:s \\ \sf f = \:?\: Hz \end{cases} } }$

O período é dado por:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ T = 2\pi\:\sqrt{ \dfrac{m}{k} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ T = 2\pi\:\sqrt{ \dfrac{75}{10\;000} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ T = 2\pi \times 0{,}08660254 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ T = 0{,}544139809 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf T = 0{,}5\: s }$

A frequência é dado por:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f = \dfrac{1}{2\pi}\: \sqrt{ \dfrac{k}{m} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f = \dfrac{1}{2\pi}\: \sqrt{ \dfrac{10\;000}{75} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f = \dfrac{1}{2\pi} \times 1 1{,} 54700538 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f =1 {,} 837762985 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf f = 1{,}8 \: Hz }$

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