Question

(Aritmética: Congruência modular)

Seja N um número natural da forma

     $N=a\,\underbrace{321\,321\cdots 321}_{3003~\mathrm{algarismos}}$

sendo $a$ o número formado pelo(s) algarismo(s) de ordem mais alta de $N.$

Calcule o menor valor de $a$ de modo que N seja divisível por 13.

─────

Obs.: O número N é formado pelo(s) algarismo(s) de $a,$ seguido pela repetição da sequência dos algarismos 321, até que o comprimento da sequência de algarismos repetidos totalize 3003 algarismos.​

Answer 1

Como a sequência de $321$'s se repete até totalizar 3003 algarismos, há 1001 repetições destes 3 caracteres. Veja também que, ao tentar compor uma sequência de $321$'s com a soma de múltiplos de 13, há um padrão:

 $260000$

   $52000$

     $9100$

       $130$

         $91$

= $321321$

Posso, portanto, escrever $321321$ como soma de múltiplos de 13 sem que haja resto para a próxima sequência. Isso significa também que posso escrever como múltiplos de 13 as primeiras 1000 das 1001 sequências. Portanto garanto que:

$a321...$ e o restante dos números é múltiplo de 13. Agora basta encontrar o menor valor de $a$ que faça que $a321$ seja múltiplo de 13:

 $9100$

   $130$

     $91$

= $9321$

Portanto o menor valor de $a$ que satisfaz as condições é $9$.