Os pontos P e Q estão sobre o lado menor lado de um retângulo cujo comprimento mede o triplo da largura. Esse retângulo foi dividido em dois triângulos e um trapézio por meio de segmentos com extremidades em P, Q e nos vértices do retângulo.
Para que a soma das áreas dos triangulos seja igual a um décimo da área do rêtangulo, a razão entre a medida do lado maior do retangulo e a medida do segmento PQ deve ser
A) 3,25 B) 3,5 C) 4 D) 3,75 E) 3
Anexos:
ddvc80ozqt8z:
Vamos chamar o comprimento de X e a largura de Y, sendo assim, X = 3*Y. A área dos triângulos pode ser encontrada calculando a área do retângulo e depois subtraindo dela a área do trapézio, bem simples.
A área do retângulo é o produto entre o comprimento e a largura, ou seja:
X*Y (mas sabemos que X = 3*Y), sendo assim:
3*Y*Y
3*Y²
Agora, para o cálculo da área do trapézio, vamos somar a base maior e a menor, multiplicar esse resultado pela altura e dividir por dois, ou seja:
(PQ +Y)*X/2 (novamente, X = 3*Y)
(PQ +Y)*3*Y/2
X*Y (mas sabemos que X = 3*Y), sendo assim:
3*Y*Y
3*Y²
Agora, para o cálculo da área do trapézio, vamos somar a base maior e a menor, multiplicar esse resultado pela altura e dividir por dois, ou seja:
(PQ +Y)*X/2 (novamente, X = 3*Y)
(PQ +Y)*3*Y/2
Subtraindo isso podemos encontrar a área dos dois triângulos:
3*Y² -(PQ+Y)*3*Y/2
Queremos que a área dos dois triângulos seja um décimo da área do retângulo, ou seja, queremos que aquela expressão ali em cima seja igual a 3*Y²/10 (um décimo da área do retângulo que calculamos lá em cima), então:
3*Y² -(PQ+Y)*3*Y/2
Queremos que a área dos dois triângulos seja um décimo da área do retângulo, ou seja, queremos que aquela expressão ali em cima seja igual a 3*Y²/10 (um décimo da área do retângulo que calculamos lá em cima), então:
3*Y² -(PQ +Y)*3*Y/2 = 3*Y²/10 (dividindo tudo por Y/3)
Y -(PQ +Y)/2 = Y/10
Y -Y/10 = (PQ +Y)/2
9*Y/10 = (PQ +Y)/2 (multiplica tudo por 2)
18*Y/10 = PQ +Y
9*Y/5 -Y = PQ
4*Y/5 = PQ (queremos a razão entre o lado maior, ou seja, o X, então sabendo que Y = X/3)
(4/5)*(X/3) = PQ
4*X/15 = PQ (agora, só dividir ambos os lados por PQ)
4*X/15*PQ = 1 (agora multiplicamos ambos os lados por 15/4)
X/PQ = 15/4 = 3,75
Y -(PQ +Y)/2 = Y/10
Y -Y/10 = (PQ +Y)/2
9*Y/10 = (PQ +Y)/2 (multiplica tudo por 2)
18*Y/10 = PQ +Y
9*Y/5 -Y = PQ
4*Y/5 = PQ (queremos a razão entre o lado maior, ou seja, o X, então sabendo que Y = X/3)
(4/5)*(X/3) = PQ
4*X/15 = PQ (agora, só dividir ambos os lados por PQ)
4*X/15*PQ = 1 (agora multiplicamos ambos os lados por 15/4)
X/PQ = 15/4 = 3,75
Caso não tenha dado pra ver todos os comentários, só olhar esse print: https://prnt.sc/jMfRCLrOCTrl
Po cara brigadão, tava mo cota tentando essa questão
Só n entendi uma coisa, já q o comprimento é o triplo da largura, n poderia ser 3x ao invés de 3y?
Poderia sim, só que ai x seria a largura e y = 3x seria o comprimento
Respostas
respondido por:
2
Resposta:
Alternativa d)
Explicação passo a passo:
Chamando (ver figura em anexo) a largura de x
Dados:
O comprimento mede o triplo da largura => o comprimento será 3x
Condição:
A soma das área dos triângulos = a área do retângulo/10
Resultado:
3x/PQ =?
A área do triângulo (A₁):
A₁ = AP.3x/2
A área do triângulo (A₂):
A₂ = QD.3x/2
A soma das área dos triângulos (A₁ + A₂):
A₁ + A₂ = AP.3x/2+QD.3x/2 = 3x(AP+QD)/2 (I)
Da figura:
AP + PQ + QD = x
AP+QD = x - PQ (II)
Substituindo (II) em (I):
A₁ + A₂ = 3x(x-PQ)/2 (III)
A área do retângulo (Ar):
Ar = 3x.x = 3x²
Da condição:
A₁ + A₂ = Ar/10
3x(x-PQ)/2 = 3x²/10
10.3(x-PQ)/2 = 3x²/x
15(x-PQ) = 3x
15x-15PQ=3x
15x-3x=15PQ
12x=15PQ
x/PQ = 15/12 = 1,25
A questão solicita 3x/PQ:
3.x/PQ = 3.1,25
3x/PQ = 3,75
Anexos:
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