Question

como resolver a equação
{2x-2y=12
{4x+4y=24
na forma geometrica?​

Answer 1

Calculando o ponto de intersecção das equações e mais um ponto de cada uma, podemos desenhar geometricamente o sistema.

Forma geométrica consta na figura anexa.

→ Um sistema é um conjunto de equações com duas, ou mais, variáveis e, cada uma delas possuem o mesmo valor em todas as equações.

⇒ Como estamos tratando de duas equações, cada uma tem seu gráfico (reta) e, portanto, os valores de x e y que encontrarmos nesse sistema será o ponto em comum das duas.

Vamos encontrar esse ponto em comum:

$\large 1^a)~ 2x - 2y = 12$

$\large 2^a)~ 4x +4y = 24$

Multiplicando a 1ª) por 2 e somando com a 2ª)

$\large \begin{array}{r}4x - 4y = 24\kern10pt\\+~4x + 4y = 24\kern10pt\\\raisebox{3pt}{ \rule{4cm}{0.5pt} }\\8x + 0 ~= 48\kern10pt\end{array}$

              $\large x = \dfrac{48}{8}$

              $\large \boxed{x = 6}$

Substituindo esse valor de x em uma das equações, por exemplo na 1ª)

$\large 2x - 2y = 12$

$\large 2.(6) - 2y = 12$

$\large 12 - 2y = 12$

$\large -2y = 12 -12$

$\large -2y = 0$  

   $\large \boxed{y = 0}$

⇒ O ponto comum ou de intersecção é I = (6,0)

Como esse ponto pertence às duas equações, vamos encontrar mais um ponto para cada uma, a fim de conseguirmos traçar cada reta:

$\large 1^a)~ 2x - 2y = 12$     $\large \implies para~ \boxed{x = 2}$

     $\large 2.2 - 2y = 12$

      $\large 4 - 2y = 12$

     $\large - 2y = 12 -4$

       $\large - 2y = 8$   multiplicando dois termos por (-1)

          $\large 2y = -8$

           $\large y = \dfrac{-8}{2}$

           $\large \boxed{y = -4}$

$\large P_{1^a} = (2, -4)$

$\large 2^a)~ 4x + 4y = 24$   $\large \implies para~ \boxed{x = 2} ~tamb\acute{e}m$

      $\large 4.2 + 4y = 24$

      $\large 8 + 4y = 24$

      $\large 4y = 24 - 8$

      $\large 4y = 16$

       $\large y = \dfrac{16}{4}$

       $\large \boxed{y = 4}$

$\large P_{2^a} = (2, 4)$

Dessa maneira é possível colocarmos as duas retas no gráfico.

Verifique a figura anexa.

Estude mais sobre Sistemas de Equações:

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Answer 2

Observe na imagem anexa que a solução geométrica do sistema resultou: S = {(0, 6)}

• Para solucionar geometricamente um sistema de duas equações de duas incógnitas, trace num mesmo plano cartesiano as retas correspondentes a cada equação. O ponto de intersecção dessas retas será o par ordenado solução do sistema.

$\large \begin{cases} \sf 2x-2y=12 \\ \sf 4x+4y=24 \end{cases}$

• Simplifique as equações dividindo ambos os membros da primeira por 2 e da segunda por 4.

$\large \begin{cases} \sf x-y=6 \\ \sf x+y=6 \end{cases}$

• Para traçar o gráfico de cada equação determine o ponto em que cada reta intercepta os eixos coordenados e ligue esses dois pontos, lembrado que uma reta cruza com o eixo x quando y = 0 e cruza com o eixo y quando x = 0.

• Para a primeira equação: x − y = 6.

p/ x = 0 ⟹ 0 − y = 6 ⟹ y = −6 ⟹ Ponto (0, −6)

p/ y = 0 ⟹ x − 0 = 6 ⟹ x = 6 ⟹ Ponto (6, 0)

• Marque os dois pontos e trace uma reta passando por eles (em vermelho na imagem anexa).

$\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines \put(0,0){\vector(1,0){4}} % x+ \put(0,0){\vector(0,1){1}} % y+ \put(0,0){\vector(-1,0){1}} % x− \put(0,0){\vector(0,-1){4}} % y− \put(4,0.2){x} \put(0.2,1){y} \put(-0.5,-3.5){\line(1,1){4}} \put(3,0){\circle*{0.13}}\\\put(0,0){\circle*{0.13}} \put(0,-3){\circle*{0.13}} \put(-1,-3){ \sf -6 } \put(3,-0.4){ \sf 6 }\end{picture}$$\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){4}}\put(0,0){\vector(0,1){1}}\put(0,0){\vector(-1,0){1}}\put(0,0){\vector(0,-1){4}}\put(4,0.2){x}\put(0.2,1){y}\put(-0.5,-3.5){\line(1,1){4}}\put(3,0){\circle*{0.13}}\put(0,0){\circle*{0.13}}\put(0,-3){\circle*{0.13}}\put(-1,-3){ \sf -6 }\put(3,-0.4){ \sf 6 }\end{picture}$

• Para a segunda equação: x + y = 6.

p/ x = 0 ⟹ 0 + y = 6 ⟹ y = 6 ⟹ Ponto (0, 6)

p/ y = 0 ⟹ x + 0 = 6 ⟹ x = 6 ⟹ Ponto (6, 6)

• Marque os dois pontos no mesmo plano cartesiano e trace uma reta passando por eles (em verde na imagem anexa).

$\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines \put(0,0){\vector(1,0){4}} % x+ \put(4,0.2){x} \put(0,0){\vector(0,1){4}} % y+ \put(0.2,4){y} \put(0,0){\vector(-1,0){1}} % x− \put(0,0){\vector(0,-1){1}} % y− \put(-0.5,3.5){\line(1,-1){4}} \put(3,0){\circle*{0.13}} \put(0,0){\circle*{0.13}} \put(0,3){\circle*{0.13}} \put(-0.6,2.93){ \sf 6 } %y \put(2.9,-0.4){ \sf 6 } %x\end{picture}$$\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){4}}\put(4,0.2){x}\put(0,0){\vector(0,1){4}}\put(0.2,4){y}\put(0,0){\vector(-1,0){1}}\put(0,0){\vector(0,-1){1}}\put(-0.5,3.5){\line(1,-1){4}}\put(3,0){\circle*{0.13}}\put(0,0){\circle*{0.13}}\put(0,3){\circle*{0.13}}\put(-0.6,2.93){ \sf 6 }\put(2.9,-0.4){ \sf 6 }\end{picture}$

• Observe na imagem anexa as duas retas traçadas no mesmo gráfico. O ponto de encontre entre elas é na coordenada (0, 6) que é o par ordenado solução desse sistema.
• Escreva o conjunto solução.

$\boxed {\Large \sf S = \left\{ (0,~6)\right\} }$

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