Question

Uma equação logarítmica é uma equação que tem pelo menos um logaritmo avaliado em uma variável x. Sobre a equação a seguir, assinale a alternativa CORRETA:
A) Tem duas raízes opostas.
B) Tem uma única raiz menor que 3.
C) Tem uma única raiz maior que 7.
D) Tem uma única raiz irracional.

Answer 1

Usando uma das propriedades de operações com logaritmos, bem

como a definição de logaritmo, obtém-se:

( D ) Tem uma única raiz irracional , que é √14

Existem várias propriedades nas operações com logaritmos.

Aqui vai interessar:

Primeira propriedade → Logaritmo de um produto

$\Large log_{a}(b\cdot c)=log_{a}b~+~log_{a}c$

Mas esta igualdade também é válida se estiver ao contrário, estando o

segundo  membro no lugar do primeiro membro da equação, deste

modo :

$\Large log_{a}b~+~log_{a}c~=~log_{a}(b\cdot c)$

$\Large log(x+2)~+~log(x-2)~=~1$

$log[(x+2)\cdot(x-2)]~=~1\\\\log(x^2-2^2)~=~1\\\\log_{10}(x^2-4)=1$

Foi usado um Produto Notável  " Diferença de dois quadrados "

O desenvolvimento é:

• ( base do primeiro quadrado + base segundo quadrado)  

multiplicar

• ( base do primeiro quadrado - base segundo quadrado)

Exemplo :

$a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)$

Mas ter presente que :

$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

ou neste caso:

$(x+2)\cdot(x-2)=x^2-2^2=x^2-4$

Segunda propriedade ( definição de logaritmo )

$\Large log_{a}b=x~~\Longleftrightarrow~b=a^{x}$

$log_{10}(x^2-4)=1\\\\x^2-4=10^1\\\\x^2=10+4\\\\x^2=14\\\\x=+\sqrt{14}~~~~~ou~~~~x=-\sqrt{14}$

$\sqrt{14} =3{,}74$

A solução  $-\sqrt{14} =-3{,}74$  não serve, pois :

$-3{,}74+2 =-1{,}74$

e

$-3{,}74-2 =-5{,}74$

Dá valores negativos.

Não serve pois não existem logaritmos de valores negativos.

Fica como solução única :

• $\sqrt{14} =+3{,}7416573867739413855837487323165. . .$

que é um número Irracional, pois é uma dízima infinita não periódica.

Na parte decimal não há repetições de um mesmo grupo de algarismos.

( D )  Tem uma única raiz irracional.

Ver mais sobre logaritmos e suas propriedades, com Brainly :

https://brainly.com.br/tarefa/506881?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/24941869?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/25833167?referrer=searchResults

Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

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$(\cdot)$   multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.