Question

Se p(x) = x^3 -4x^2 + ax + 6 e P(2) = 0, então P(x), ao ser fatorado, é igual a

A) (x+1) (x-2) (x-3)
B) (x+1) (x+2) (x+3)
C) (x+1) (x+2) (x-3)
D) (x-1) (x-2) (x-3)

Answer 1

P(2) = 2³ - 4.2² + a.2 + 6 = 8 - 4.4 + 2a + 6 = 8 - 16 + 2a + 6 = -2 + 2a

Como P(2) = 0, temos que   -2 + 2a = 0 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 2/2 = 1

Logo, P(x) = x³ - 4x² + x + 6

Mas, se P(2) = 0, então P(x) é divisível por   x - 2  

Usando Briot-Ruffini, temos:

2         1      -4       1       6
           1      -2      -3       0

Trace um segmento vertical depois do 2, e um horizontal separando as duas linhas. Separe o último algarismo obtido - 0; ele é o resto da divisão de P(x) por   x - 2  . Divisão exata como tinha que ser.

1, -2 e -3, são os coeficientes de um polinômio de grau uma unidade menor do que P(x). Igualando esse polinômio a zero e resolvendo a equação obtida, encontramos as demais raízes de P(x).

x² - 2x - 3 = 0

Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4.1.(-3) = 4 + 12 = 16

x = (-b +- √Δ) / 2a
x = (-(2) +- √16) / 2.1 = (2 +- 4) / 2
x' = (2 - 4) / 2 = -2/2 = -1
x" = (2 + 4) / 2 = 6/2 = 3

Escrevendo P(x) na forma fatorada, fica: [x - (-1)].[x - 2].[x - 3]

Portanto, P(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)

Alternativa A)