Question

Use o Teorema de Wilson para encontrar o resto da divisão do número 46! por 47 e do número 70! por 71.

Answer 1

Resposta:

a) O resto da divisão de 46! por 47 é igual a 46.

b) O resto da divisão de 70! por 71 é igual a 70.

Explicação passo a passo:

• Teorema de Wilson (T.W.):

Seja p um número natural. Então,

p é primo se e somente se

     p divide (p − 1)! + 1

ou em notação de congruência,

     (p − 1)! ≡ − 1 ≡ p − 1  (mod p).

a) Para p = 47, pelo T.W., segue que

     $(47-1)!\equiv -1~~\mathrm{(mod~}47)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 46!\equiv -1\equiv -1+47~~\mathrm{(mod~}47)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 46!\equiv 46~~\mathrm{(mod~}47)$

Portanto, o resto da divisão de 46! por 47 é igual a 46.

b) Para p = 71, pelo T.W., segue que

     $(71-1)!\equiv -1~~\mathrm{(mod~}71)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 70!\equiv -1\equiv -1+71~~\mathrm{(mod~}71)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 70!\equiv 70~~\mathrm{(mod~}71)$

Portanto, o resto da divisão de 70! por 71 é igual a 70.

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