• Matéria: Matemática
  • Autor: CORACUNHA
  • Perguntado 3 anos atrás

Utilize o Pequeno Teorema de Fermat para determinar o resto da divisão do número
3⁹⁰ por 19 e do número 5¹²⁰ por 41.

Respostas

respondido por: Lukyo
4

Resposta:

a) O resto da divisão de 3^{90} por 19 é igual a 1 (um).

b) O resto da divisão de 5^{120} por 41 é igual a 1 (um).

Explicação passo a passo:

  • Pequeno Teorema de Fermat (P.T.F.):

Sejam a, p naturais, p primo e mdc(a, p) = 1. Então,

     p divide aᵖ⁻¹ − 1

ou em notação de congruência,

     aᵖ⁻¹ ≡ 1  (mod p).

a) Calcular o resto da divisão de 3^{90} por 19.

Como mdc(3, 19) = 1, pelo P.T.F., temos

     3^{19-1}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}19)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3^{18}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}19)

Como 90=18\cdot 5, podemos aplicar uma das propriedades operatórias e elevar ambos os lados da congruência à quinta potência:

     \Longrightarrow\quad (3^{18})^5\equiv 1^5~~\mathrm{(mod~}19)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3^{90}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}19)

Portanto, o resto da divisão de 3^{90} por 19 é igual a 1 (um).

b) Calcular o resto da divisão de 5^{120} por 41.

Como mdc(5, 41) = 1, pelo P.T.F., temos

     5^{41-1}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}41)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 5^{40}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}41)

Como 120=40\cdot 3, podemos aplicar novamente a mesma propriedade operatória, e elevar ambos os lados da congruência ao cubo:

     \Longrightarrow\quad (5^{40})^3\equiv 1^3~~\mathrm{(mod~}41)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 5^{120}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}41)

Portanto, o resto da divisão de 5^{120} por 41 é igual a 1 (um).

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Perguntas similares