Question

Utilize o Pequeno Teorema de Fermat para determinar o resto da divisão do número
3⁹⁰ por 19 e do número 5¹²⁰ por 41.

Answer 1

Resposta:

a) O resto da divisão de $3^{90}$ por 19 é igual a 1 (um).

b) O resto da divisão de $5^{120}$ por 41 é igual a 1 (um).

Explicação passo a passo:

• Pequeno Teorema de Fermat (P.T.F.):

Sejam a, p naturais, p primo e mdc(a, p) = 1. Então,

     p divide aᵖ⁻¹ − 1

ou em notação de congruência,

     aᵖ⁻¹ ≡ 1  (mod p).

a) Calcular o resto da divisão de $3^{90}$ por 19.

Como mdc(3, 19) = 1, pelo P.T.F., temos

     $3^{19-1}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}19)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3^{18}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}19)$

Como $90=18\cdot 5,$ podemos aplicar uma das propriedades operatórias e elevar ambos os lados da congruência à quinta potência:

     $\Longrightarrow\quad (3^{18})^5\equiv 1^5~~\mathrm{(mod~}19)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3^{90}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}19)$

Portanto, o resto da divisão de $3^{90}$ por 19 é igual a 1 (um).

b) Calcular o resto da divisão de $5^{120}$ por 41.

Como mdc(5, 41) = 1, pelo P.T.F., temos

     $5^{41-1}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}41)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 5^{40}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}41)$

Como $120=40\cdot 3,$ podemos aplicar novamente a mesma propriedade operatória, e elevar ambos os lados da congruência ao cubo:

     $\Longrightarrow\quad (5^{40})^3\equiv 1^3~~\mathrm{(mod~}41)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 5^{120}\equiv 1~~\mathrm{(mod~}41)$

Portanto, o resto da divisão de $5^{120}$ por 41 é igual a 1 (um).

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