Em uma praça de certo município será construída uma fonte de água com formato de um decágono regular com 3 m de lado. No centro dessa fonte será instalado um jato de água, conforme representado a seguir.
a) Quantos metros terá o contorno dessa fonte de água?
b) Qual é a distância máxima horizontal que o jato de água pode alcançar, sendo disparado em todas as direções, de maneira que não ultrapasse os limites da fonte?
Considere sen 72° 0,95, cos 72° 0,31 e tg 72° 3,08.
Respostas
a) O contorno dessa fonte de água terá 30 m.
b) A distância máxima horizontal que o jato de água pode alcançar é de 4,84 m aproximadamente.
Decágono regular
a) Como o decágono regular é formado por 10 lados de mesma medida e, no caso desse, cada lado mede 3 m, seu perímetro será igual a:
p = 10 x 3
p = 30 m
Essa é a medida do contorno desse decágono.
b) Essa distância máxima horizontal corresponde ao raio do círculo circunscrito a esse decágono.
O ângulo interno de um polígono regular pode ser obtido pela fórmula:
ai = (n - 2)·180°
n
em que n representa a quantidade de lados.
No caso do decágono, n = 10. Logo:
ai = (10 - 2)·180°
10
ai = 8·180°
10
ai = 8·18
ai = 144°
Cada diâmetro do círculo circunscrito ao decágono divide esse ângulo na metade, ou seja, em 72°.
Pela lei dos cossenos, temos:
r² = r² + 3² - 2·r·3·cos 72°
r² = r² + 9 - 6·r·0,31
r² = r² + 9 - 1,86r
r² - r² + 1,86r = 9
1,86r = 9
r = 9
1,86
r ≈ 4,84 m
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