Matéria: Matemática
Autor: halissonlopes2p583sb
Perguntado 3 anos atrás

verifique se w é um subespaço vetorial de v:

a)V=R³ e W = {(x,y,z) € R³| y=x²}

Respostas

respondido por: Nitoryu

Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível verificar que W não é um subespaço vetorial de V.

Um subespaço vetorial é um espaço vetorial contido em outro espaço vetorial maior. Os subespaços vetoriais herdam propriedades do espaço vetorial pai e por isso, para determinar se um subconjunto de vetores é um subespaço vetorial basta verificar o cumprimento de apenas dois axiomas, são eles:

Se $u, v \in W$ então $u + v \in W$ , ou seja, $W$ é fechado sob a soma.

Se $u \in W$ e $\lambda \in R$ então $\lambda u \in W$ , ou seja, $W$ é fechado sob o produto escalar.

Além disso, devemos cumprir a seguinte condição: Se $W$ é um subespaço de $V$ , então $0\in W$ .

Se nosso espaço vetorial não satisfaz nenhum dos dois axiomas ou aquela condição, podemos dizer que $W$ não é um subespaço vetorial do vetor maior $V$ .

O problema menciona que verificamos que o espaço vetorial $W$ que é definido como $W = \{ (x , y , z)\in \mathbb R ^3| y = x ^2\}$ no espaço vetorial $V$ definido em $V =\mathbb R ^3$ .

Para verificar esta condição devemos provar que o espaço vetorial $W$ atende a condição e os 2 axiomas mostrados anteriormente, para começar vemos que o espaço vetorial $W$ é um subespaço vetorial de $V$ , para isso vamos provar a primeira condição, como $W$ é definido por $\mathbb R^3$ temos que substituir $](0, 0,0)$ no espaço vetorial $W$ e temos que mostrar que uma igualdade é válida.

Fazendo isso você obtém:

$\Longrightarrow ~~y = x ^2\\\\\\\\ \Longleftrightarrow~~ 0= 0^2\\\\\\\\ \Longleftrightarrow~~ 0=0\quad0\in W$ (i)

Aparentemente nosso espaço vetorial $W$ cumpriu nossa primeira propriedade, agora devemos provar que satisfaz ambos os axiomas, para provar o primeiro axioma devemos provar que $u + v \in W$ , ou seja, a soma dos vetores u e v deve ser idêntica a $W$ , para isso devemos saber que os vetores u e v são definidos como:

$u = (u _1 , u _2 , u _3 )\in W$

$v = (v _1 , v _2 , v _3 )\in W$

Como estamos em $\mathbb R ^3$ , devemos saber que o sistema de coordenadas é definido como $(x , y , z)$ , se soubermos disso e o substituirmos no espaço vetorial $W$ temos:

$u=( u _1 ^2,u _2)$

$v=( v _1 ^2,v _2)$

Se somarmos esses dois vetores podemos obter a expressão:

$\Longrightarrow ~~u+v = ( u _1 ^2, u _ 2) + (v _1 ^2, v _2)\\\\\\\\\Longleftrightarrow~~ u + v = (u _1 ^2+ v _1 ^2, u _2 + v _2 )$

Se substituirmos esses valores em nosso espaço vetorial $W$ , obtemos a expressão:

$\Longrightarrow~~ u _2+ v _2 = u _1 ^2+ v _1 ^2$ (ii)

Vemos que essa igualdade não é idêntica à do espaço vetorial $W$ , pois a parte da variável "x" é toda ao quadrado e não podemos fatorar essa expressão, então como não pode ser provada igualdade vamos procure um contra-exemplo .O que faremos é atribuir valores numéricos a x,y e z que atendam a essa igualdade em nosso vetor u, nossos valores numéricos são:

$u+v~~ \begin{cases}u = (1,-1,3)\\ v =(2,4,6)\end{cases}$