Question

Determine a área do triângulo ABC de vértices A(2,1), B(3,2) e C(4,0):

Answer 1

Após realizados os cálculos concluímos que área do triângulo é de $\large \displaystyle \text { \mathsf{A_{\triangle} = 1{,}5 \: u.a } }$.

Dadas as coordenadas de três pontos não colineares, é possível calcular a área do triângulo. O $\boldsymbol{ \textstyle \sf \triangle A B C }$ em que $\boldsymbol{ \textstyle \sf A (x_A, y_A) }$, $\boldsymbol{ \textstyle \sf B (x_B, y_B) }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf C (x_C, y_C) }$.

A área do $\boldsymbol{ \textstyle \sf \triangle A B C }$ é dado por:

$\Large \boxed{\boldsymbol{ \displaystyle \sf A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot \mid D \mid } }$

Em que:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \displaystyle \sf D = \begin{array}{ |r r r |} \sf x_A & \sf y_A & \sf 1 \\ \sf x_B & \sf y_B & \sf 1 \\ \sf x_C & \sf y_C & \sf 1\end{array} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf A(2,1) \\ \sf B(3,2) \\ \sf C( 4,0) \\ \sf A_{\triangle} = \:? \end{cases} } }$

Calculemos, inicialmente o determinante D.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \displaystyle \sf D = \begin{array}{ |r r r |} \sf 2 & \sf 1 & \sf 1 \\ \sf 3 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 4 & \sf 0& \sf 1\end{array} } }$

Aplicando o método de Sarrus , temos:

$\Large \sf \displaystyle \sf \begin{array}{ |r r r | r r |} \sf 2 & \sf 1 & \sf 1 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 3 & \sf 2& \sf 1 & \sf 3&\sf 2 \\ \sf4 & \sf 0 & \sf 1 & \sf 4 &\sf 0\end{array}$

$\Large \displaystyle \mathsf{ D = (4+4+0) - (8+0+3) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ D = 8 - 11 }$

$\Large \boldsymbol{ \textstyle \sf D = -3 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot \mid D \mid } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot \mid -3 \mid } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ A_{\triangle} = \dfrac{3}{2} } }$

$\Large \boldsymbol{ \textstyle \sf A_{\triangle} =1{,}5 \: u.a }$

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