Question

Encontre os valores de x que na divisão por 5 deixa resto 2, na divisão por 7 deixa resto 3 e na divisão por 8 deixa resto 4. Em outras palavras, resolva o sistema mediante ao Teorema Chinês do Resto.

x ≡ 2 (mod 5)
x ≡ 3 (mod 7)
x ≡ 4 (mod 8).

Answer 1

Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que iremos realizar, é possível verificar que os valores de x para a solução do sistema de congruência linear são dados pela expressão $\sf x = 280 n +52$.

• Temos o seguinte sistema de congruências lineares:

$\begin{cases} x \equiv 2 \quad (\rm{mod} \: 5 ) \qquad (i) \\ x \equiv3 \quad( \rm{mod} \: 7) \qquad (ii)\\ x\equiv 4 \quad(\rm{mod}\ 8)\qquad (iii) \end{cases}$

A solução deste problema é dada pelo teorema do resto chinês que garante a existência de uma solução única de sistemas lineares de congruências, uma vez que os módulos das equações são dois a dois primos.

Vamos ver se existe uma solução para este sistema de congruência, para verificar se tem solução devemos verificar que o máximo divisor comum dos módulos deve ser igual a 1, podemos ver que:

• mdc(5,7) = 1

• mdc(7,8) = 1

• mdc(5,8) = 1

Podemos ver que se existe uma solução para este sistema de congruência, agora o que vamos fazer é encontrar o produto de todos os módulos, para encontrar o produto de todos os módulos vamos multiplicar todos os números que estão dentro do módulo, podemos ver que o produto é igual a:

• 5 x 7 x 8 = 280

Vamos resolver a equação (i), porém tomando cuidado para que o representante desta solução não interfira nas outras duas equações.

• Para isso, calculemos o produto dos módulos das outras equações:

$7\cdot 8=56$

Agora temos que encontrar um valor de $y _ 1$ tal que satisfaça esta equação:

$56 y _1\equiv 1\quad (\rm{mod}~ 5)$

($y _1$ representa o inverso de 56 módulo 5)

O valor de $y _1$ que torna a solução desta equação uma igualdade é 1, então a solução da equação (i) é:

$x_1 \equiv 2\cdot (56\cdot1)\quad (\rm{mod}~ 5)\\\\ x_1 \equiv 112\quad (\rm{mod}~5)$

Observe que o representante 112 para $x _1$ foi calculado de forma que:

$112 \equiv 0\quad (\rm{mod}~7)\\ \\ 112\equiv 0\quad (\rm{mod}~8)$

• Encontramos a solução da equação (ii).

Calculamos o produto dos outros módulos das outras duas equações, fazendo isso obtemos:

$5\cdot 8=40$

Agora tentamos encontrar um valor para $y _2$ de acordo com a equação:

$40 y _2\equiv 1\quad (\rm{mod}~ 7)$

($y _2$ representa o inverso de 40 módulo 7)

Observe que o valor de $y _2$ é igual a 3, pois se multiplicarmos 3 por 40 e subtrairmos 1 obteremos um divisor exato de 7, então a solução da equação (ii) é:

$x _2 \equiv3\cdot(40\cdot 3) \quad (\rm{mod} \: 7)\\\\ x _2 \equiv 360\quad( \rm{mod} \: 7)$

Observe que o representante 360 para $x _2$ foi calculado de forma que:

$360\equiv 0\quad (\rm{mod}~ 5)\\ \\ 360\equiv 0\quad (\rm{mod}~ 7)$

Agora resolvemos a equação (iii) para resolver esta equação repetimos os mesmos passos que fizemos na equação (i) e (ii), ou seja, primeiro vamos encontrar o produto dos outros dois módulos.

$5\cdot 7=35$

Encontramos um valor para $y _3$ que representa a solução da equação:

$35 y _3\equiv 1 \quad(\rm{mod}\ 8)$

($y _3$ representa o inverso de 35 módulo 8)

O valor de $y _3$ é novamente 3 pois se multiplicarmos 35 por 3 obtemos 105 como resultado e se subtrairmos 1 obtemos 104 e 104 é divisível por 8. Então a solução da equação (iii) é:

$x _3\equiv 4\cdot (35\cdot 3) \quad(\rm{mod}\ 8)\\\\ x _3\equiv 420 \quad(\rm{mod}\ 8)$

Observe que o representante 420 para $x _3$ foi calculado de forma que:

$420\equiv 0\quad (\rm{mod}~5)\\ \\ 420\equiv 0\quad (\rm{mod}~7)$

Agora devemos encontrar a solução geral do sistema de congruência linear, a solução geral é dada pela fórmula:

$x \equiv x _1+x _2+ x _3 \quad(\rm{mod}~280)$

Agora vamos substituir os dados que já encontramos ao longo de nossa solução, mas tome cuidado pois os valores de $x_n$ são dados pelo número fora do módulo e não dentro dele, se fizermos a substituição temos:

$x \equiv 112+360+ 420\quad(\rm{mod}~280)\\\\ x \equiv 892\quad (\rm{mod}~280)$

Isso é o mesmo que dizer:

$\sf x =280 n + 52~\quad com~ n\in \mathbb{Z}~\checkmark$

Os valores de "x" são dados por esta expressão e se substituirmos qualquer inteiro nesta expressão obtemos um valor de x que torna o sistema de congruência verdadeiro.

Conclusão: Feitos os cálculos concluímos que o valor x pode ser obtido pela expressão $\sf x = 280 n + 52$.

Veja mais sobre o tema do teorema do resto chinês nos links a seguir:

• https://brainly.com.br/tarefa/37089801
• https://brainly.com.br/tarefa/53102456

Bons estudos e espero que te ajude!

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