Encontre a equação da parábola que tem foco em (-3,0) e a diretriz x = 5.

Respostas

respondido por: solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação procurada da parábola é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \rho: y^{2} = -16x + 16\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} F = (-3, 0)\\d: x = 5\end{cases}$

Para resolver esta questão devemos:

Encontrar o ponto de interseção entre o eixo de simetria da parábola e a reta diretriz "d". Sabendo que a ordenada do foco é "0" e a reta diretriz é perpendicular ao eixo das abscissas, então o ponto de interseção "I" entre a reta suporte do foco com a reta diretriz é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} I(5, \,0)\end{gathered}$}$

Determinar o vértice da parábola. Sabendo que o vértice da parábola é o ponto médio do segmento FI, então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x_{v},\,y_{v}) = \bigg(\frac{x_{F} + x_{I}}{2},\,\frac{y_{F} + y_{I}}{2}\bigg)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \bigg(\frac{-3 + 5}{2},\,\frac{0 + 0}{2}\bigg)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \bigg(\frac{2}{2},\,\frac{0}{2}\bigg)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (1, \,0)\end{gathered}$}$

Portanto, o vértice da parábola é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} V = (1,\,0)\end{gathered}$}$

Determinar o valor de "p". Para isso, devemos calcular a distância de F a V, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} p = |\overline{FV}| \end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \sqrt{(x_{V} - x_{F})^{2} + (y_{V} - y_{F})^{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \sqrt{(1 - (-3))^{2} + (0 - 0)^{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \sqrt{4^{2}}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 4\end{gathered}$}$

Portanto, o valor de "p" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} p = 4\end{gathered}$}$

Uma vez que a concavidade da parábola sempre abre no sentido oposto da reta diretriz. Então a concavidade se abre para a esquerda. Desta forma o valor de "p" deve ser negativo. Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} p = -4\end{gathered}$}$

Montar a equação da parábola.

Uma vez sabendo que o eixo de simetria da parábola é paralelo ao eixo das abscissas, então a equação da parábola pode ser montada sob a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (y - y_{V})^{2} = 4p(x - x_{V})\end{gathered}$}$