Question

2) O conjunto solução do sistema linear
{x-2y+z=0
{ 2x+y-3z=-5
{4x - y - z = - 1}
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Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e solucionado podemos afirmar que o valor S =  {(1, 2, 3)}.

Sistemas lineares escalonados é um método para resolver sistemas de equações lineares, transformando o sistema em outro equivalente, reduzindo até encontrar um solução.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf x-2y+z=0 \\\sf 2x+y-3z=-5 \\\sf 4x - y - z = - 1 \end{cases} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{bmatrix} \sf 1 &\sf - 2 &\sf 1 & \sf 0 \\ \sf 2 & \sf 1 &\sf - 3 & \sf -5\\ \sf 4 &\sf - 1 &\sf - 1 & \sf - 1\\ \end{bmatrix} } }$

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf \bullet }$ transformar os elementos desta diagonal no número 1.

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf \bullet }$ Multiplicaremos os elementos da primeira linha por $\boldsymbol{ \textstyle \sf -2 \cdot L_1 +L_2 }$, e também $\boldsymbol{ \textstyle \sf - 4 \cdot L_1 +L_3 }$.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{bmatrix} \sf 1 &\sf - 2 &\sf 1 & \sf 0 \\ \sf 0 & \sf 5 &\sf - 5 & \sf -5\\ \sf 0 &\sf 7 &\sf - 5 & \sf - 1\\ \end{bmatrix} } }$

$\boldsymbol{ \textstyle \sf \bullet }$ Multiplicar a segunda linha por $\boldsymbol{ \textstyle \sf 1/5 \cdot L_2 }$, as demais linhas permanecerão como estão.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{bmatrix} \sf 1 &\sf - 2 &\sf 1 & \sf 0 \\ \sf 0 & \sf1 &\sf - 1 & \sf -1\\ \sf 0 &\sf 7 &\sf - 5 & \sf - 1\\ \end{bmatrix} } }$

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf \bullet }$ Multiplicaremos os elementos da segunda linha por $\boldsymbol{ \textstyle \sf -7 \cdot L_2 +L_3 }$.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{bmatrix} \sf 1 &\sf - 2 &\sf 1 & \sf 0 \\ \sf 0 & \sf1 &\sf - 1 & \sf -1\\ \sf 0 &\sf 0 &\sf 2 & \sf6\\ \end{bmatrix} } }$

$\boldsymbol{ \textstyle \sf \bullet }$ Multiplicar a segunda linha por $\boldsymbol{ \textstyle \sf 1/2 \cdot L_3 }$, as demais linhas permanecerão como estão.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{bmatrix} \sf 1 &\sf - 2 &\sf 1 & \sf 0 \\ \sf 0 & \sf1 &\sf - 1 & \sf -1\\ \sf 0 &\sf 0 &\sf 1 & \sf3 \\ \end{bmatrix} } }$

$\Large \displaystyle \sf \left\{\begin{array}{ r r r} \sf x-2y +z & \sf = & \sf 0\\ \sf y -z & \sf = & \sf - 1 \\ \sf z& \sf = & \sf 3 \end{array}\right.$

Então:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf z = 3 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y -z = - 1 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y -3 = - 1 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y = - 1 + 3 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = 2 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x -y +z = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x -2\cdot 2 - 3 = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x - 4 +3 =0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ x - 1= 0 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = 1 }$

Portanto os valores do sistema linear são S =  {(1, 2, 3)}.

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