Question

Mostre através da aplicação e calculo de derivadas parciais que a função a seguir tem um mínimo em (1.2)

f(X, y)=(x-1)^2 +(y-2)^2 -1

Answer 1

Verificando que o ponto dado é um ponto crítico da função f e utilizando o teste da segunda derivada, concluímos que, o ponto (1, 2) é um ponto de mínimo.

Ponto crítico

O primeiro passo para verificar se o ponto dado é um ponto de mínimo é verificar se ele é um ponto crítico. Ou seja, devemos verificar que a derivada parcial em relação a x e a derivada parcial em relação a y são ambas iguais a zero para o ponto dado.

A derivada parcial de f em relação à variável x é dada por:

$2(x - 1)$

Portanto, no ponto (1,2) essa derivada possui valor igual a:

$2(1-1) = 0$

A derivada parcial da função f em relação à variável y é igual a:

$2(y -2)$

Essa derivada também assume valor nulo para o ponto dado, portanto, (1,2) é um ponto crítico da função f.

Teste da segunda derivada

Para confirmar que o ponto crítico (1,2) é um ponto de mínimo devemos aplicar o teste da segunda derivada. Nesse caso, temos que, o ponto será ponto de mínimo se a segunda derivada parcial em relação a x é maior que zero e a Hessiana também possui valor positivo. Temos que:

$f_{xx} = 2 \Rightarrow f_{xx} (1,2) > 0$

$H(x, y) = f_{xx} f_{yy} - 2f_{xy} = 2*2 - 2*0 = 4 \Rightarrow H(1,2) > 0$

Como os dois resultados calculados no ponto (1,2) são positivos, temos que, o ponto é de mínimo.

Para mais informações sobre derivada parcial, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/25301148

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