(Aritmética: sistema linear de congruências modulares)
Seja N um numero natural que deixa resto 4 na divisão por 7, e que deixa resto 7 na divisão por 11.
Calcule o resto da divisão de N por 77.
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Obs.: O uso de sistema linear de congruências e/ou Teorema Chinês dos Restos NÃO É obrigatório para resolver esta tarefa, é apenas uma das diversas formas de resolução. Escolha livremente aquela que julgar mais conveniente.
Respostas
Para isolar n, basta multiplicar 4 por algum representante da classe inversa de 4, mod 77, já que este produto resultará em 1, por definição. Chamando de q este representante, temos que:
Devo, portanto, encontrar um múltiplo de 77 que, somado a 1, resulte em um múltiplo de 4. Como , e 76 é múltiplo de 4, temos que, ao ir multiplicando o 77 (de 1 para cima, tentando achar o valor de k), acharemos em, no máximo 4 multiplicações, um múltiplo de 77 que somado a 1 seja um múltiplo de 4. Justamente em conta disto, podemos encontrar o valor de k por tentativa e erro. Desse modo encontramos o 3, já que:
, múltiplo de 4.
Olhando lá em cima na definição do representante da classe inversa, temos que:
Desse modo, basta multiplicar 4 por 58 para isolar a incógnita. Prosseguindo:
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Congruência modular E algoritmo de Euclides.