Question

O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q)=-4q2+1.000q-12.000 reais, para q variando entre 0 e 180 unidades. Segundo tal função, qual é o valor máximo de lucro que pode ser obtido é:

Answer 1

O lucro máximo que pode ser obtido é de R$ 50.500,00.

Ponto máximo da equação de segundo grau

Equação de segundo grau

A equação fornecida no enunciado é uma equação de segundo grau, caracterizada por este formato, chamado de polinômio de segundo grau:

ax²+bx+c.

Identificando os coeficientes da equação, utilizando o polinômio de segundo grau, temos:

a=-4

b= 1000

c= -12000

Esse tipo de equação pode ser representada através de um gráfico em formato de uma parábola.

Além disso, é possível notar que, devido ao fato do coeficiente a ser negativo (-4), a concavidade desta parábola será para baixo.

Observação

• O enunciado diz que precisamos identificar o lucro máximo referente ao intervalo de 0 a 180 unidades produzidas e vendidas.
• Ao pedir o lucro máximo, precisamos encontrar o ponto máximo desta parábola.

Ponto máximo

Para descobrir a coordenada do ponto máximo de uma equação de segundo grau, é necessário calcular o vértice da parábola, através das seguintes equações:

$Xv = -\frac{b}{2a}$  

$Yv = -\frac{\Delta}{4a}$

onde:

Yv - é o valor no eixo Y que está o ponto máximo

Xv - é o valor no eixo X que está o ponto máximo

Dito isso, vamos a resolução do problema:

1º Passo - Calcular se o Xv está no intervalo dado no enunciado:

$Xv = -\frac{b}{2a}$

$Xv = -\frac{1000}{2(-4)}$

$Xv = 125$

• Isso significa, que o lucro máximo é obtido com a produção e venda de 125 produtos.

Como o valor de Xv está dentro do intervalo entre 0 e 180, então temos duas formas de chegar no mesmo resultado:

1. Utilizando a fórmula do eixo Y do vértice da parábola (Yv);
2. Substituir a quantidade de produtos encontrada (125) na equação dada no enunciado.

2º Passo - Calcular o lucro máximo

• Usando a fórmula do Yv:

$Yv = -\frac{\Delta}{4a}$

O símbolo no numerador é chamado de DELTA da equação de segundo grau, que pode ser calculado através da sequinte fórmula:

${\Delta} = b^{2} - 4*a*c\\{\Delta} = 1000^{2} - 4*(-4)*(-12000)\\{\Delta} = 1000000 - 192000\\{\Delta} = 808000$

Cotinuando a resolução:

$Yv = -\frac{808000}{4*(-4)}\\Yv = 50500$

Portanto, o lucro máximo que pode ser obtido é de R$ 50.500,00.

• Agora, vamos resolver substituindo a variável q por 125 na equação dada no enunciado:

$L(q)=-4q^{2} + 1.000q - 12.000\\L(q)=-4*125^{2} +1.000*125 - 12.000\\L(q)=-4*15625 + 125000 - 12.000\\L(q)=-62500 + 125000 - 12.000\\L(q)=50500$

Note que, pelo fato de encontrarmos o número de produtos que darão o lucro máximo, as duas equações deram certo.

Observação:

• Caso o valor encontrado na equação do Xv não estivesse no intervalo dado no exercício, basta substituir na equação fornecida pelo enunciado o valor do intervalo que fica mais próximo do resultado dado em Xv.
• Ex: se o intervalo dado fosse de 0 a 100, utilizaria o 100 para substituir na equação, mas se fosse de 130 a 200, o valor utilizado seria o de 130.

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