Question

Analise o graficos mostrados e responda. A) Quais são as raízes de f( x )e g(x)? B)calcule f(0) e g(0). C)calcule os vértices de f(x) e g(x).,quero calculos​

Answer 1

Vamos là.

A)

f(x) = x² - 9 = (x + 3)*(x - 3)

as raízes:

x1 = -3, x2 = 3

g(x) = x² - 6x + 9 = (x - 3)^2

a raiz

x = 3

B)

f(0) = -9

g(0) = 9

C)

vértice de f(x) = x² - 9

Vx = -b/2a = 0

Vy = f(0) = -9

V(0, -9)

vértice de g(x) = x² - 6x + 9

Vx = -b/2a = 6/2 = 3

Vy = f(3) = 9 - 18 + 9 = 0

V(3, 0)

Answer 2

De acordo com os cálculos abaixo, as respostas são:

a) Raízes de f  $\longrightarrow$  x = -3  e  x = 3
   Raízes de g  $\longrightarrow$  x = 3

b)  $f(0)=-9$  e  $g(0)=9$

c) Vértice de f  $\longrightarrow$  (0 ; -9)
   Vértice de g  $\longrightarrow$  (3 ; 0)

Vamos entender o porquê?

Tenham-se as funções:

$\begin{array}{ll}\bullet&f(x)=x^2-9\\{}\\\bullet&g(x)=x^2-6x+9\end{array}$

a)

As raízes ou zeros de uma função são as abcissas (valores de $x$) para os quais  $y=0$.
Neste caso, podíamos verificar estes valores por observação dos gráficos, mas vou usar o método analítico (cálculos).

• Função  $f(x)=x^2-9$
  
      $f(x)=0\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow x^2-9=0\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow x^2=9\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{9}\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow x=-3\quad\vee\quad x=-3$
  
  Logo, a função tem duas raízes, em  x = -3  e  x = 3.

• Função  $g(x)=x^2-6x+9$
  
      $g(x)=0\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow x^2-6x+9=0$
  
  Usando a Fórmula Resolvente para Equações do Segundo Grau (Fórmula de Bhaskara):
  
      $x=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\times1\times9}}{2\times1}\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow x=\dfrac{6\pm\sqrt{36-4\times9}}{2}\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow x=\dfrac{6\pm\sqrt{36-36}}{2}\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow x=\dfrac{6\pm\sqrt{0}}{2}\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow x=\dfrac{6\pm0}{2}\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow x=\dfrac{6}{2}\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow x=3$
  
  Logo, a função tem uma raiz dupla em  x = 3.

b)

Este é mais um exercício que pode ser resolvido por observação direta do gráfico.
No entanto, como não sabemos a escala do eixo das ordenadas (eixo Oy), temos de recorrer aos cálculos.

• Função  $f(x)=x^2-9$
  
      $f(0)=0^2-9\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow f(0)=0-9\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow f(0)=-9$

• Função  $g(x)=x^2-6x+9$
  
      $g(0)=0^2-6\times0+9\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow g(0)=0-0+9\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow g(0)=0+9\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow g(0)=9$

c)

Neste exercício em específico, já sabemos as coordenadas do vértices, uma vez que são pontos que já determinámos em alíneas anteriores.
Ainda assim, vou resolver esta alínea como se assim não fosse, para que saibas como determinar os vértices noutras situações.

Como os vértices são sempre máximos ou mínimos de uma função, a forma mais simples de os determinar é determinando os zeros da sua primeira derivada.

• Função  $f(x)=x^2-9$
  
      $f'(x)=(x^2-9)'\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow f'(x)=(x^2)'+(-9)'\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow f'(x)=2x+0\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow f'(x)=2x$
  
      $f'(x)=0\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow2x=0\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow x=0$
  
  Usamos estes dados para fazer uma Tabela de Sinal-Variação.
  Versão para Navegador:
  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c}x&-\infty\qquad&-3&\qquad&0&\qquad&3&\qquad+\infty\\\cline{1-8}f'(x)&-&-&-&0&+&+&+\\\cline{1-8}f(x)&\searrow&0&\searrow&minimo&\nearrow&0&\nearrow\end{array}$
  
  Versão para APP:
  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c}x&-\infty\qquad&-3&\qquad&0&\qquad&3&\qquad+\infty\\\hline f'(x)&-&-&-&0&+&+&+\\\hline f(x)&\searrow&0&\searrow&minimo&\nearrow&0&\nearrow\end{array}$
  
  Assim, o vértice de f terá abcissa 0.
  Este é um ponto que já conhecemos, e tem coordenadas (0 ; -9).

• Função  $g(x)=x^2-6x+9$
  
      $g'(x)=(x^2-6x+9)'\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow g'(x)=(x^2)'+(-6x)'+9'\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow g'(x)=2x-6+0\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow g'(x)=2x-6$
  
      $g'(x)=0\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow2x-6=0\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow 2x=6\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow x=3$
  
  Usamos estes dados para fazer uma Tabela de Sinal-Variação.
  Versão para Navegador:
  $\begin{array}{l|c|c|c}x&-\infty\qquad&3&\qquad+\infty\\\cline{1-4}f'(x)&-&0&+\\\cline{1-4}f(x)&\searrow&minimo&\nearrow\end{array}$
  
  Versão para APP:
  $\begin{array}{l|c|c|c}x&-\infty\qquad&3&\qquad+\infty\\\hline f'(x)&-&0&+\\\hline f(x)&\searrow&minimo&\nearrow\end{array}$
  
  Assim, o vértice de g terá abcissa 3.
  Este é um ponto que já conhecemos, e tem coordenadas (3 ; 0).

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