Matéria: Matemática
Autor: claraclarinha2004
Perguntado 3 anos atrás

Seja A uma matriz n × m. Prove que, se produto de A por qualquer matriz m × 1 é a matriz nula n × 1, então A é a matriz nula.

Respostas

respondido por: steniohmsilva

Se uma matriz A n x m multiplicada por 1 resulta em uma matriz nula, então a matriz A é nula.

Matriz nula

Uma matriz nula é toda matriz que possui todos seus elementos igual a 0. Supondo uma matriz nula A 3 x 3 seria da seguinte forma:

$A = \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]$

A multiplicação de uma constante qualquer por uma matriz, significa que devemos multiplicar cada elemento da matriz pela constante declarada c. Ou seja:

$c * A = \left[\begin{array}{ccc}a_1_1&a_1_2&a_1_3\\a_2_1&a_2_2&a_2_3\\a_3_1&a_3_2&a_3_3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}c * a_1_1&c *a_1_2&c *a_1_3\\c *a_2_1&c *a_2_2&c *a_2_3\\c *a_3_1&c *a_3_2&c *a_3_3\end{array}\right]$

Considere:

c uma constante qualquer.
$a_n_m$ um elemento da matriz.

Por tanto, considerando uma matriz A 3 x 3 para multiplicar por 1 devemos multiplicar cada um de seus elementos pelo valor 1 e para que todos o produto dessa multiplicação seja nulo, todos os elementos da matriz precisam ser nulos, visto que para obter o valor 0 em uma multiplicação, um dos fatores da multiplicação precisa ser 0, como a constante já foi declarada como 1, o elemento da matriz precisa ser 0, dessa forma se obtém uma matriz nula.

$1 * A = \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 * 0& 1 *0& 1 * 0\\1 * 0&1 * 0&1 * 0\\1 * 0&1 *0&1 *0\end{array}\right]$

A matriz $A_3_x_3$ foi usada como exemplo, mas o dito acima é verdade para qualquer matriz $A_n_x_m$ , qualquer matriz multiplicada por 1, só retornará uma matriz nula se a matriz A já for uma matriz nula.