Prove que três pontos não-colineares determinam três retas. Quantas retas são determinadas por quatro pontos, sendo que estes são três a três não-colineares? E para o caso de seis pontos?
Respostas
Resposta:
Veja abaixo
Explicação passo-a-passo:
É fácil ver que três pontos que não estão alinhados formam um triângulo. Então os três pontos determinam três segmentos de reta, e isso é suficiente para provar a existência das três retas. Se fossem quatro pontos, de um modo que não haja três alinhados, teríamos um quadrilátero, como um quadrado ou um retângulo, por exemplo. Nesse caso. além das quatro retas suporte dos lados, há duas diagonais. Então há seis retas. É só seguir o mesmo raciocínio para seis pontos e contar as diagonais da figura de 6 lados formada (o hexágono). São 9 diagonais, formando 6 + 9 = 15 retas possíveis para os seis pontos, não havendo três deles colineares.
Esses dois cálculos finais também podem ser feitos por análise combinatória. Se você souber do que se trata, faça uma combinação de 4 pontos tomados 2 a 2, e você vai obter o valor 6; do mesmo modo, se você fizer uma combinação de 6 pontos tomados 2 a 2, você vai obter o valor 15. Vale a pena dizer que tomamos os pontos 2 a 2 porque 2 pontos são suficientes para determinar uma reta.