Matéria: Matemática
Autor: guiterra74
Perguntado 3 anos atrás

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Dada a função f(x) =x² + 2mx + 16, qual é o valor de m para que a função não possua raízes reais?

(a) -4 < m < 4
(b) m < 4
(c) m > 1
(d) m ≤ 4

tomson1975: 4m² - 64 < 0

elizeuo: la

elizeuo: ola

ZeroRigel: oi

elizeuo: tem como vc me ajudar

ZeroRigel: claro, com o que especificamente??

elizeuo: uma pergunta

ZeroRigel: a última que vc lançou?

elizeuo: tem uma lá no meu perfil

elizeuo: isso

Respostas

respondido por: ZeroRigel

Resposta:

(a) -4 < m < 4

Explicação passo-a-passo:

✍️ Entendendo equações de segundo grau.

Uma equação de segundo grau possui duas raízes, geralmente denominadas x' e x''.
Para ser uma equação de segundo grau, é obrigatória a existência do termo "ax²", onde "a" é um coeficiente qualquer e "x²" a variável.
Quando temos a equação "ax²+bx+c=0", geralmente há o uso da fórmula de Bhaskara. $\blue{\boxed{x = \frac{ - b \pm \sqrt{ \Delta} }{2a} }} \\ \blue{\boxed{ \Delta = {b}^{2} - 4ac}}$
Quando ∆ > 0, existirão duas raízes reais distintas, ou seja, x' ≠ x''.
Quando ∆ = 0, existirão duas raízes iguais, ou apenas uma raíz, ou seja, x' = x''.
Quando ∆ < 0, não existirão raízes reais.

⟩⟩⟩ → Exercício.

Com base na explicação, para que não haja raízes reais, Delta (∆) deve ser menor que zero, portanto:

$\red{\boxed{ \Delta < 0}}$

Sabendo que ∆ = b² - 4ac, teremos:

$\red{\boxed{ \Delta < 0}} \red{\rightarrow } \boxed{{b}^{2} - 4 ac \red< 0}$

Substituindo os valores dos coeficientes:

$\boxed{{b}^{2} - 4 ac \red< 0} \\ \red{\hookrightarrow } {(2m)}^{2} - 4 \times (1) \times (16) \red< 0$

Desenvolvendo o cálculo:

$\boxed{{\ {(2m)}^{2}}} - 4 \times (1) \times (16) \red< 0 \\ \red{\hookrightarrow }4 {m}^{2} - \boxed{4 \times 16 }\red < 0 \\ \red{\hookrightarrow }4 {m}^{2} - 64\red < 0 \\ \red{\hookrightarrow }4 {m}^{2} \boxed{ - 64 } {}^{ \orange{\longrightarrow} } \red < 0 \\ \red{\hookrightarrow }\boxed{4}^{\orange{\longrightarrow}} {m}^{2}\red < 64 \\\red{\hookrightarrow }{m}^{2} \red < \boxed{ \frac{64}{4}} \\ \red{\hookrightarrow } {m}^{{}^{\orange{\longleftarrow}}\boxed{2} {}^{ \orange{\longrightarrow}} } \red < 16 \\ \red{\hookrightarrow } \boxed{-\sqrt{16}}\red< {m}\red< \boxed{\sqrt{16}} \\ \red{\hookrightarrow } \green{\boxed{-4< {m}<4}}$

Portanto, para que não haja raízes reais, -4 < m < 4.

ESPERO TER AJUDADO, QUALQUER DÚVIDA É SÓ FALAR!!!

elizeuo: eu não tou entendo skksks

ZeroRigel: quando você for resolver ½/2, você inverte o 2 que tá em baixo, ou seja, fica ½ × ½, aí vc multiplica de cima com de cima e de baixo com de baixo, ou seja , (1×1) / (2×2)

ZeroRigel: fica 1/4

elizeuo: entendi

ZeroRigel: se tiver muito ruim de entender, meu passa seu whats que eu passo a foto do caderno com as contas tudo certinho

elizeuo: okkkk

elizeuo: é melhor mn

elizeuo: 92 985992207

ZeroRigel: já chamo

elizeuo: ok mn

respondido por: solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores do parâmetro "m" que elimina as possibilidades da referida função do segundo grau possuir raízes reais pertencem ao seguinte conjunto solução:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{m\in\mathbb{R}\:|\:-4 < m < 4\}\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Portanto, a opção correta é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa\:A\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a função do segundo grau - função quadrática:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = x^{2} + 2mx + 16\end{gathered}$}$

Cujos coeficientes são:

$\Large\begin{cases} a = 1\\b = 2m\\c = 16\end{cases}$

Para que uma função do segundo grau não possua raízes reais é necessário que o valor numérico do delta seja menor que "0" - zero - ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \Delta < 0\end{gathered}$}$