Question

Qual é a derivada de f(x)= 4 cos(x) + ln(x+1) ??

Answer 1

A derivada de  $\dfrac{dy}{dx} (4Cos(x)+ln(x+1))$  é      $-4sen(x)+\dfrac{1}{x+1}$

$\dfrac{dy}{dx} (4Cos(x)+ln(x+1)) = \boxed{-4Sen(x) +\dfrac{1}{x+1} }$

• Como chegamos nesse resultado?

Queremos encontrar a derivada da seguinte função

$F(x)= 4Cos(x)+Ln(x+1)$

Bem antes de começarmos a derivar precisamos saber algumas regras e propriedades da derivação

• REGRA DA CONSTANTE MULTIPLICANDO UMA VARIAVEL

    $\dfrac{dy}{dx} (CX)= C\cdot \dfrac{dy}{dx}(X)$

• DERIVAÇÃO DA SOMA

    $\dfrac{dy}{dx}(F(x)+G(x))= \dfrac{dy}{dx} (F(x))+\dfrac{dy}{dx} (G(x))$

• DERIVADA DO COSSENO

    $\dfrac{dy}{dx} (Cos(x))=-Sen(x)$

• DERIVADA DO LN(X)

   $\dfrac{dy}{dx} (LN(X))= \dfrac{1}{X}$

Dito  isso vamos encontrar a seguinte derivada

$\dfrac{dy}{dx} (4Cos(x)+ln(x+1))$

$\dfrac{dy}{dx}(4Cos(x))+ \dfrac{dy}{dx}(Ln(x+1))$

$4\cdot \dfrac{dy}{dx}(Cos(x))+ \dfrac{dy}{dx}(Ln(x+1))$

Vamos separar essa questão em duas partes, pois em  $\dfrac{dy}{dx} (Ln(x+1))$ será necessário fazer a regra da cadeia

Vamos encontrar primeiro  $4\cdot \dfrac{dy}{dx}(Cos(x))$

$4\cdot \dfrac{dy}{dx}(Cos(x))\\\\4\cdot-Sen(x)\\\\\boxed{-4Sen(x)}$

Agora vamos encontrar  $\dfrac{dy}{dx} (Ln(x+1))$ e em seguida juntar com $-4Sen(x)}$

Perceba que a derivada  $\dfrac{dy}{dx} (Ln(x+1))$ não é um função conhecida pois é uma função composta, para facilitar os cálculos podemos  usar a regra da cadeia

• A regra da cadeia serve quando temos que derivar uma função composta, ela facilitas os cálculos

• Chamamos um parte da função de U e derivamos e em seguida multiplicamos pela a derivada

vamos lá

$U=(X+1)$

$\dfrac{dy}{dx} (Ln(x+1))\\\\\\\dfrac{dy}{du} (Ln(u))\cdot \dfrac{dy}{dx} (u)\\\\\\\dfrac{1}{u}\cdot \dfrac{dy}{dx} (u)$

Como U é igual a (X+1) basta colocarmos de volta

$\dfrac{1}{u}\cdot \dfrac{dy}{dx} (u)\\\\\\\dfrac{1}{(x+1)}\cdot \dfrac{dy}{dx} (X+1)\\\\\dfrac{1}{(x+1)}\cdot 1\\ \\\\\boxed{\dfrac{1}{x+1} }$

agora basta juntar com a outra parte

$-4sen(x)+\dfrac{1}{x+1}$

Então concluirmos que  $\dfrac{dy}{dx} (4Cos(x)+ln(x+1)) = \boxed{-4Sen(x) +\dfrac{1}{x+1} }$

Link com questões parecidas :

https://brainly.com.br/tarefa/53295407

https://brainly.com.br/tarefa/38313556