Matéria: Matemática
Autor: ninlecarvalho1
Perguntado 3 anos atrás

Verifique se a série abaixo é convergente ou divergente.
Use o teste da razão.

Anexos:

Respostas

respondido por: Nitoryu

Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que iremos realizar, é possível verificar que o valor da nossa série é igual a 1/4, isto significa que a série é convergente.

Para este problema, lembremos que as séries numéricas são um grupo de números ordenados, que se relacionam consecutivamente entre si, e desta forma uma série numérica pode ir de um número a outro.

Para avaliar se uma série diverge ou converge, é necessário aplicar o teste da razão.

O critério do quociente, teste da razão ou critério de d'Alembert é usado para determinar a convergência ou divergência de qualquer série de termos positivos e, portanto, classificá-la.

O critério diz que a série converge absolutamente se esta quantidade for menor que a unidade e que diverge se for maior que a unidade. É particularmente útil em relação às séries de potências.

Seja L o limite superior, então o critério raiz afirma que:

Se L < 1, então a série converge absolutamente.

Se L > 1, então a série diverge.

Se L = 1, o critério não decide e é necessário calcular o limite de outra forma.

Sendo L calculado pelo seguinte limite avaliado no infinito:

$\displaystyle \sf \lim _{L\to \infty} \limits L=\lim _{n\to\infty} \left|\dfrac{a _{n+1}}{a _ n}\right |$

Onde $\sf a _ n$ é a lei de formação da nossa sequência e $\sf a _ {n+1}$ representa a lei de formação da nossa sequência mas avaliada em n+1. Nosso objetivo é verificar se nossa série diverge ou converge, sendo nossa série numérica igual a:

$\displaystyle \sf \sum ^{+\infty} _{n = 1} \limits \dfrac{(n !) ^2}{(2 n)!}$

Podemos ver que a lei de formação da nossa sequência numérica é representada pela expressão: $\sf \dfrac{(n!)^2}{(2n)!}$

Então para encontrar o valor de $\sf a _ {n +1}$ teremos que somar o número 1 em todas as expressões que incluem a variável "n" dentro dela. Se fizermos isso, podemos concluir que o valor de $\sf a _ {n +1}$ é respectivamente igual a: $\sf \dfrac{\left[(n + 1)!\right]^2}{ (2n + 1)!}$

Então o limite de L avaliado no infinito pode ser escrito como a operação:

$\displaystyle \sf \lim _{n\to\infty} \limits \left|\dfrac{ \dfrac{\left[(n + 1)!\right]^2}{ (2n + 1)!}}{\dfrac{(n !) ^2}{(2 n)!}}\right |$

Para calcular o valor desse limite é necessário primeiro simplificar esse limite, para simplificar esse limite devemos realizar a divisão de frações, para realizar essa divisão vamos multiplicar pelos extremos, fazendo isso obtemos a equação:

$\displaystyle \sf \lim _{n\to \infty} \left|\dfrac{\left[(n + 1)!\right]^2\cdot (2 n)!}{(2n + 1)!\cdot (n!)^2}\right|\\\\ \displaystyle \sf \lim _{n\to \infty}\left| \dfrac{(n+1)!\cdot (n+1)!\cdot (2 n)!}{(2n + 1)!\cdot (n!)\cdot (n!)}\right|\\\\ \displaystyle \sf \lim _{n\to \infty} \left|\dfrac{(n+1)!}{n!} \cdot \dfrac{(n+1)!}{n!} \cdot \dfrac{2 n!}{(2 n+1)!}\right|$

Vamos eliminar todos os fatoriais, pois se tivermos um limite ao infinito com fatoriais, será muito complicado calcular, portanto, se aplicarmos a simplificação dos fatoriais, obteremos a expressão:

$\displaystyle \sf \lim _{n\to\infty} \left|(n+1)\cdot (n+1)\cdot \dfrac{1}{2(n+1)(2 n+1)}\right|\\\\ \displaystyle \sf \lim _{n\to\infty} \left|\dfrac{(n+1)^2}{2(n+1)(2 n+1)}\right |$

Eliminando termos semelhantes do nosso limite:

$\displaystyle \sf \lim _{n\to\infty} \left|\dfrac{\cancel{(n+1)^2}}{2\cancel{(n+1)}(2 n+1)}\right|\\\\ \displaystyle \sf \lim _{n\to\infty} \left|\dfrac{n+1}{2(2 n+1)}\right|\\\\ \displaystyle \sf \lim _{n\to\infty} \left|\dfrac{n+1}{4 n +2}\right|$

Para resolver este limite vamos dividir cada termo da expressão pela maior variável com o maior expoente, se dividirmos todos os termos por "n" (termo com o maior expoente) obtemos:

$\displaystyle \sf \lim _{n\to\infty} \left|\dfrac{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}{\dfrac{4 n }{n}+\dfrac{2}{n}}\right|\\\\ \displaystyle \sf \lim _{n\to\infty}\left| \dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{4+\dfrac{2}{n}}\right|$

Se avaliarmos todas as variáveis "n" no infinito, obteremos:

$\displaystyle \sf \lim _{n\to\infty} \left|\dfrac{1+\dfrac{1}{\infty }}{4+\dfrac{2}{\infty }}\right|\\\\ \displaystyle \sf L =\left|\dfrac{1}{4}\right|~<1\quad\longleftarrow\quad\mathsf{Converge !}$